Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 202
2014-06-07 
Биссектрисы $AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}$ треугольника ABC пересекаются в точке М. Доказать, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники $MB_{1}A, MC_{1}A, MC_{1}B, MA_{1}B, MA_{1}C$ и $MB_{1}C$, равны, то треугольник ABC равносторонний.
Решение:
Рассмотрим равные окружности с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$, вписанные в треугольники $AC_{1}M$ и $AB_{1}M$ соответственно. Пусть они касаются отрезка AM в точках $K_{1}$ и $K_{2}$ (рис.). Тогда прямоугольные треугольники $AO_{1}K_{1}$ и $AO_{2}K_{2}$ равны, поскольку
$O_{1}K_{1}=O_{2}K_{2}$ и $\angle O_{1}AK_{1} = \frac{1}{2} \angle C_{1}AM = \frac{1}{2} \angle B_{1}AM = \angle O_{2}AK_{2}$.
Поэтому $K_{1} = K_{2}$ и прямоугольные треугольники $O_{1}K_{1}M$ и $O_{1}K_{1}M$ также равны (по двум катетам), откуда
$\angle O_{1}MK_{1} = \angle O_{2}MK_{2}$ и $\angle C_{1}MA = \angle B_{1}MA$.
Следовательно, имеем $ \angle AC_{1}C = \angle AB_{1}B$ (из треугольников $AC_{1}M$ и $AB_{1}M$, имеющих по два соответственно равных угла), $ \angle ABB_{1} = \angle ACC_{1}$) и $\angle ABC = \angle ACB$. Аналогично доказывается равенство $\angle ACB = \angle BAC$.
Биссектрисы $AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}$ треугольника ABC пересекаются в точке М. Доказать, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники $MB_{1}A, MC_{1}A, MC_{1}B, MA_{1}B, MA_{1}C$ и $MB_{1}C$, равны, то треугольник ABC равносторонний.
Решение:
Рассмотрим равные окружности с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$, вписанные в треугольники $AC_{1}M$ и $AB_{1}M$ соответственно. Пусть они касаются отрезка AM в точках $K_{1}$ и $K_{2}$ (рис.). Тогда прямоугольные треугольники $AO_{1}K_{1}$ и $AO_{2}K_{2}$ равны, поскольку
$O_{1}K_{1}=O_{2}K_{2}$ и $\angle O_{1}AK_{1} = \frac{1}{2} \angle C_{1}AM = \frac{1}{2} \angle B_{1}AM = \angle O_{2}AK_{2}$.
Поэтому $K_{1} = K_{2}$ и прямоугольные треугольники $O_{1}K_{1}M$ и $O_{1}K_{1}M$ также равны (по двум катетам), откуда
$\angle O_{1}MK_{1} = \angle O_{2}MK_{2}$ и $\angle C_{1}MA = \angle B_{1}MA$.
Следовательно, имеем $ \angle AC_{1}C = \angle AB_{1}B$ (из треугольников $AC_{1}M$ и $AB_{1}M$, имеющих по два соответственно равных угла), $ \angle ABB_{1} = \angle ACC_{1}$) и $\angle ABC = \angle ACB$. Аналогично доказывается равенство $\angle ACB = \angle BAC$.
