Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2018
2019-01-23 
Последовательность неотрицательных рациональных чисел $a_1,a_2,a_3,\cdots$ удовлетворяет соотношению $a_m + a_n = a_{mn}$ при любых натуральных $m, n$. Докажите, что не все ее члены различны.
Решение:
Предположим противное. Полагая $m = n = 1$, получаем $a_1 + a_1 = a_1$ т. е. $a_1 = 0$. Поэтому все остальные члены ненулевые. Пусть $a_2 = p/q, a_3 = r/s$. Из условия следует, что $a_m^k = ka_m$; поэтому $a_{2^{qr}} = qr \cdot p/q = pr = ps \cdot r/s = a_{3^{ps}},$ но $2^{qr} \neq 3^{ps}$. Противоречие.
Последовательность неотрицательных рациональных чисел $a_1,a_2,a_3,\cdots$ удовлетворяет соотношению $a_m + a_n = a_{mn}$ при любых натуральных $m, n$. Докажите, что не все ее члены различны.
Решение:
Предположим противное. Полагая $m = n = 1$, получаем $a_1 + a_1 = a_1$ т. е. $a_1 = 0$. Поэтому все остальные члены ненулевые. Пусть $a_2 = p/q, a_3 = r/s$. Из условия следует, что $a_m^k = ka_m$; поэтому $a_{2^{qr}} = qr \cdot p/q = pr = ps \cdot r/s = a_{3^{ps}},$ но $2^{qr} \neq 3^{ps}$. Противоречие.
