Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2014
2019-01-23 
Натуральные числа от 1 до 100 расставлены по кругу в таком порядке, что каждое число либо больше обоих соседей, либо меньше обоих соседей. Пара соседних чисел называется хорошей, если при выкидывании этой пары вышеописанное свойство сохраняется. Какое минимальное количество хороших пар может быть?
Решение:
Пример: сначала расставим числа подряд, а затем поменяем местами числа 2 и 3, 4 и 5, $\cdots$, 98 и 99. В полученной расстановке $1, 3, 2, 5, 4, \cdots, 99, 98, 100$ хорошими парами являются в точности пары $(1, 3), (3, 2), (5, 4), (7, 6), \cdots, (97, 96), (99, 98), (98,100)$.
Докажем, что хороших пар не менее 51. Заметим, что среди любых двух пересекающихся пар хотя бы одна - хорошая. Действительно, пусть $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ - такие подряд идущие числа, что пары $(a_2, a_3)$ и $(a_3, a_4)$ не являются хорошими. Не умаляя общности, можно считать, что $a_1 > a_2 < a_3 > a_4 < a_5$. С другой стороны, пара $(a_3, a_4)$ не является хорошей, значит, $a_1 > a_2 > a_5$, пара $(a_2, a_3)$ не является хорошей, значит, $a_5 > a_4 > a_1$. Тогда $a_1 > a_2 > a_5 > a_4 > a_1$, что невозможно, значит, либо пара $(a_2, a_3)$, либо пара $(a_3, a_4)$ - хорошая. Поэтому хороших пар уже не менее 50, причем ровно 50 их может быть, только если хорошие и не хорошие пары чередуются. Но если рассмотреть число 100, то следующая за ним пара - хорошая: $100 > (a_k < a_{k+1}) > a_{k+2} < a_{k+3}$. Так же хорошей является и пара, предшествующая числу 100, а значит, чередование невозможно.
Ответ. 51 хорошая пара.
Натуральные числа от 1 до 100 расставлены по кругу в таком порядке, что каждое число либо больше обоих соседей, либо меньше обоих соседей. Пара соседних чисел называется хорошей, если при выкидывании этой пары вышеописанное свойство сохраняется. Какое минимальное количество хороших пар может быть?
Решение:
Пример: сначала расставим числа подряд, а затем поменяем местами числа 2 и 3, 4 и 5, $\cdots$, 98 и 99. В полученной расстановке $1, 3, 2, 5, 4, \cdots, 99, 98, 100$ хорошими парами являются в точности пары $(1, 3), (3, 2), (5, 4), (7, 6), \cdots, (97, 96), (99, 98), (98,100)$.
Докажем, что хороших пар не менее 51. Заметим, что среди любых двух пересекающихся пар хотя бы одна - хорошая. Действительно, пусть $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ - такие подряд идущие числа, что пары $(a_2, a_3)$ и $(a_3, a_4)$ не являются хорошими. Не умаляя общности, можно считать, что $a_1 > a_2 < a_3 > a_4 < a_5$. С другой стороны, пара $(a_3, a_4)$ не является хорошей, значит, $a_1 > a_2 > a_5$, пара $(a_2, a_3)$ не является хорошей, значит, $a_5 > a_4 > a_1$. Тогда $a_1 > a_2 > a_5 > a_4 > a_1$, что невозможно, значит, либо пара $(a_2, a_3)$, либо пара $(a_3, a_4)$ - хорошая. Поэтому хороших пар уже не менее 50, причем ровно 50 их может быть, только если хорошие и не хорошие пары чередуются. Но если рассмотреть число 100, то следующая за ним пара - хорошая: $100 > (a_k < a_{k+1}) > a_{k+2} < a_{k+3}$. Так же хорошей является и пара, предшествующая числу 100, а значит, чередование невозможно.
Ответ. 51 хорошая пара.
