Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2012
2019-01-23 
Существуют ли такие попарно различные натуральные числа $m, n, р, q,$ что $m + n = \sqrt {m}+ \sqrt [3]{n}= \sqrt {p}+ \sqrt [3]{q}> 2004$?
Решение:
Мы будем искать такие числа в виде $m = a^2, n = b^3, p = c^2, q = d^3,$ где $a, b, c, d$-натуральные. Тогда условие переформулируется так: $a + b = c + d, a^2 + b^3 = c^2 + d^3$, т.е. $a - c = d - b, (a - c)(a + c) = (d - b)(d^2 + bd + b^2)$. Зафиксируем такие $b$ и $d$, что $b = d - 1 > 2004$. Тогда условиям удовлетворяет пара $c = \frac{d^2 + bd + b^2 - 1}{2}, a = \frac{d^2 + bd + b^2 + 1}{2}$; эти числа целые, поскольку $b$ и $d$ разной четности. Кроме того, $a > c > b^2 > d > b > 2004$.
Замечание. Можно показать, что для любой четверки чисел, удовлетворяющей условию, числа $\sqrt{m}, \sqrt[3]{n}, \sqrt{p}, \sqrt[3]{q} $ целые.
Ответ. Существуют.
Существуют ли такие попарно различные натуральные числа $m, n, р, q,$ что $m + n = \sqrt {m}+ \sqrt [3]{n}= \sqrt {p}+ \sqrt [3]{q}> 2004$?
Решение:
Мы будем искать такие числа в виде $m = a^2, n = b^3, p = c^2, q = d^3,$ где $a, b, c, d$-натуральные. Тогда условие переформулируется так: $a + b = c + d, a^2 + b^3 = c^2 + d^3$, т.е. $a - c = d - b, (a - c)(a + c) = (d - b)(d^2 + bd + b^2)$. Зафиксируем такие $b$ и $d$, что $b = d - 1 > 2004$. Тогда условиям удовлетворяет пара $c = \frac{d^2 + bd + b^2 - 1}{2}, a = \frac{d^2 + bd + b^2 + 1}{2}$; эти числа целые, поскольку $b$ и $d$ разной четности. Кроме того, $a > c > b^2 > d > b > 2004$.
Замечание. Можно показать, что для любой четверки чисел, удовлетворяющей условию, числа $\sqrt{m}, \sqrt[3]{n}, \sqrt{p}, \sqrt[3]{q} $ целые.
Ответ. Существуют.
