Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2010
2019-01-23 
Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности. Биссектрисы внешних углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $K$, внешних углов $B$ и $C$ - в точке $L$, внешних углов $C$ и $D$ - в точке $M$, внешних углов $D$ и $A$ - в точке $N$. Пусть $K_1, L_1, M_1, N_1$ - точки пересечения высот треугольников $ABK, BCL, CDM, DAN$ соответственно. Докажите, что четырехугольник $K_1L_1M_1N_1$ - параллелограмм.
Решение:
Обозначим через $O$ центр вписанной окружности четырехугольника $ABCD$. Поскольку внешняя и внутренняя биссектрисы угла перпендикулярны, $OA\perp NK, OB \perp KL$. Высота $AK1$ треугольника $ABK$ перпендикулярна $BK$, поэтому $AK_1 \parallel OB$. Аналогично, $BK_1 \parallel OA$. Следовательно, $AOBK_1$ - параллелограмм, и точка $K_1$ получается из точки $A$ параллельным переносом на вектор $\vec{AK_1} = \vec{OB}$. Таким же образом, точка $L_1$ получается из точки $C$ параллельным переносом на вектор $\vec{OB}$. Поэтому $\vec{K_1L_1} = \vec{AC}$.
Также получаем, что $\vec{N_1M_1} = \vec{AC}$, откуда следует, что $K_1L_1M_1N_1$ - параллелограмм.
Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности. Биссектрисы внешних углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $K$, внешних углов $B$ и $C$ - в точке $L$, внешних углов $C$ и $D$ - в точке $M$, внешних углов $D$ и $A$ - в точке $N$. Пусть $K_1, L_1, M_1, N_1$ - точки пересечения высот треугольников $ABK, BCL, CDM, DAN$ соответственно. Докажите, что четырехугольник $K_1L_1M_1N_1$ - параллелограмм.
Решение:
Обозначим через $O$ центр вписанной окружности четырехугольника $ABCD$. Поскольку внешняя и внутренняя биссектрисы угла перпендикулярны, $OA\perp NK, OB \perp KL$. Высота $AK1$ треугольника $ABK$ перпендикулярна $BK$, поэтому $AK_1 \parallel OB$. Аналогично, $BK_1 \parallel OA$. Следовательно, $AOBK_1$ - параллелограмм, и точка $K_1$ получается из точки $A$ параллельным переносом на вектор $\vec{AK_1} = \vec{OB}$. Таким же образом, точка $L_1$ получается из точки $C$ параллельным переносом на вектор $\vec{OB}$. Поэтому $\vec{K_1L_1} = \vec{AC}$.
Также получаем, что $\vec{N_1M_1} = \vec{AC}$, откуда следует, что $K_1L_1M_1N_1$ - параллелограмм.
