Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 201
2014-06-07 
Доказать, что четыре расстояния от точки окружности до вершин вписанного в нее квадрата не могут одновременно быть рациональными числами.
Решение:
Пусть квадрат ABCD вписан в окружность диаметра $d$, а точка Р лежит на дуге AD (рис.). Обозначим $\alpha = \angle ACP$. Тогда, если числа
$AP = d \sin \alpha$ и $CP = d \cos \alpha$
являются рациональными, то число
$BP = d \sin \angle PDB = d \sin (\angle ADB + \angle ADP) =$
$= d \sin (45^{\circ} + \alpha) = d (\sin \alpha + \cos \alpha) (\sqrt{2}/2) = (\sqrt{2}/2)(AP + CP)$
иррационально.
Доказать, что четыре расстояния от точки окружности до вершин вписанного в нее квадрата не могут одновременно быть рациональными числами.
Решение:
Пусть квадрат ABCD вписан в окружность диаметра $d$, а точка Р лежит на дуге AD (рис.). Обозначим $\alpha = \angle ACP$. Тогда, если числа
$AP = d \sin \alpha$ и $CP = d \cos \alpha$
являются рациональными, то число
$BP = d \sin \angle PDB = d \sin (\angle ADB + \angle ADP) =$
$= d \sin (45^{\circ} + \alpha) = d (\sin \alpha + \cos \alpha) (\sqrt{2}/2) = (\sqrt{2}/2)(AP + CP)$
иррационально.
