Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2009
2019-01-23 
Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.
Решение:
Назовем целочисленную точку узлом. Если на каждой вертикальной прямой все узлы одного цвета, то выберем любой узел (пусть он цвета 1). Проведем через него две перпендикулярные прямые, идущие под углом $45^{\circ}$ к вертикали и выберем на этих прямых точки цветов 2 и 3 (это возможно, поскольку существуют вертикали этих цветов). Полученный треугольник будет искомым. Аналогично, если все горизонтали одного цвета.
Пусть есть вертикаль $v$, на которой присутствуют ровно два цвета (скажем, 1 и 2). Тогда выберем любой узел $C$ цвета 3, узел $A$ на $v$, находящийся с $C$ на одной горизонтали (пусть узел $A$ цвета 1) и узел $B$ цвета 2 на $v$.
Если же есть вертикаль $v$, на которой встречаются все три цвета, то выберем горизонталь $h$, на которой не все точки одного цвета. Пусть точка $A$ их пересечения имеет цвет 1, тогда выберем на $h$ точку $B$ цвета, отличного от 1 (скажем, цвета 2), а на $v$ точку $C$ третьего цвета.
Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.
Решение:
Назовем целочисленную точку узлом. Если на каждой вертикальной прямой все узлы одного цвета, то выберем любой узел (пусть он цвета 1). Проведем через него две перпендикулярные прямые, идущие под углом $45^{\circ}$ к вертикали и выберем на этих прямых точки цветов 2 и 3 (это возможно, поскольку существуют вертикали этих цветов). Полученный треугольник будет искомым. Аналогично, если все горизонтали одного цвета.
Пусть есть вертикаль $v$, на которой присутствуют ровно два цвета (скажем, 1 и 2). Тогда выберем любой узел $C$ цвета 3, узел $A$ на $v$, находящийся с $C$ на одной горизонтали (пусть узел $A$ цвета 1) и узел $B$ цвета 2 на $v$.
Если же есть вертикаль $v$, на которой встречаются все три цвета, то выберем горизонталь $h$, на которой не все точки одного цвета. Пусть точка $A$ их пересечения имеет цвет 1, тогда выберем на $h$ точку $B$ цвета, отличного от 1 (скажем, цвета 2), а на $v$ точку $C$ третьего цвета.
