Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2008
2019-01-23 
Вписанная в тетраэдр $ABCD$ сфера касается его граней $ABC, ABD, ACD$ и $BCD$ в точках $D_1, C_1, B_1$ и $A_1$ соответственно. Рассмотрим плоскость, равноудаленную от точки $A$ и плоскости $B_1C_1D_1$ и три другие аналогично построенные плоскости. Докажите, что тетраэдр, образованный этими четырьмя плоскостями, имеет тот же центр описанной сферы, что и тетраэдр $ABCD$.
Решение:
Первое решение. Обозначим вершины получающегося тетраэдра $A_2, B_2, C_2$ и $D_2$. Тогда тетраэдры $A_1B_1C_1D_1$ и $A_2B_2C_2D_2$ гомотетичны, причем эта гомотетия переводит центр вписанной сферы тетраэдра $ABCD$ в центр описанной сферы тетраэдра $A_2B_2C_2D_2$. Покажем, что она переводит центр вписанной сферы тетраэдра $ABCD$ в центр описанной сферы тетраэдра $ABCD$.
Заметим, что точка $A_2$ - радикальный центр трех точек: $B, C, D$ и вписанной в тетраэдр $ABCD$ сферы, поскольку является точкой пересечения трех радикальных плоскостей (именно эти плоскости рассматриваются в задаче). В связи с этим точка $A_2$ равноудалена от вершин $B, C$ и $D$. Поэтому, прямая, проходящая через $A_2$ перпендикулярно плоскости $BCD$, проходит через центр описанной сферы $ABCD$. Именно эта прямая является образом при гомотетии прямой, проходящей через $A_1$ перпендикулярно $BCD$. Точка пересечения таких прямых - центр вписанной сферы $ABCD$ - переходит таким образом в центр описанной сферы $ABCD$. Что и требовалось.
Второе решение. Пусть $O, O_A, O_B, O_C, O_D$ - центры описанных сфер тетраэдров $ABCD, BCDI, ACDI, ABDI, ABCI$ соответственно ($I$ - центр вписанной в $ABCD$ сферы). Покажем, что $O$ - центр описанной сферы тетраэдра $O_AO_BO_CO_D$. Действительно, отрезки $OO_A, OO_B, O_AO_B$ перпендикулярны плоскостям $BCD, ACD, ICD$ соответственно, причем плоскость $ICD$ составляет равные углы с плоскостями $BCD$ и $ACD$; поэтому $\triangle OO_AO_B$ равнобедренный, $OO_A = OO_B$. Остальные равенства получаются аналогично. Тогда тетраэдры $A_1B_1C_1D_1$ и $O_AO_BO_CO_D$ гомотетичны.
Отложим от точки $O_A$ вектор $\vec{O_AA_2} = \vec{IA_1/2}$, аналогично получаются точки $B_2, C_2, D_2$. Тогда, поскольку плоскости $A_1B_1C_1$ и $O_AO_BO_C$ параллельны, то плоскость $A_2B_2C_2$ также им параллельна; кроме того, поскольку $O_AO_BO_C$ - серединный перпендикуляр к $DI$, а расстояние между $A_2B_2C_2$ и $O_AO_BO_C$ вдвое меньше расстояния между $I$ и $A_1B_1C_1,$ то $A_2B_2C_2$ - плоскость, данная в условии. Но тогда из равенства $OA_2 = OO_A + \frac{IA_1}{2}$ - и аналогичных равенств следует требуемое.
Вписанная в тетраэдр $ABCD$ сфера касается его граней $ABC, ABD, ACD$ и $BCD$ в точках $D_1, C_1, B_1$ и $A_1$ соответственно. Рассмотрим плоскость, равноудаленную от точки $A$ и плоскости $B_1C_1D_1$ и три другие аналогично построенные плоскости. Докажите, что тетраэдр, образованный этими четырьмя плоскостями, имеет тот же центр описанной сферы, что и тетраэдр $ABCD$.
Решение:
Первое решение. Обозначим вершины получающегося тетраэдра $A_2, B_2, C_2$ и $D_2$. Тогда тетраэдры $A_1B_1C_1D_1$ и $A_2B_2C_2D_2$ гомотетичны, причем эта гомотетия переводит центр вписанной сферы тетраэдра $ABCD$ в центр описанной сферы тетраэдра $A_2B_2C_2D_2$. Покажем, что она переводит центр вписанной сферы тетраэдра $ABCD$ в центр описанной сферы тетраэдра $ABCD$.
Заметим, что точка $A_2$ - радикальный центр трех точек: $B, C, D$ и вписанной в тетраэдр $ABCD$ сферы, поскольку является точкой пересечения трех радикальных плоскостей (именно эти плоскости рассматриваются в задаче). В связи с этим точка $A_2$ равноудалена от вершин $B, C$ и $D$. Поэтому, прямая, проходящая через $A_2$ перпендикулярно плоскости $BCD$, проходит через центр описанной сферы $ABCD$. Именно эта прямая является образом при гомотетии прямой, проходящей через $A_1$ перпендикулярно $BCD$. Точка пересечения таких прямых - центр вписанной сферы $ABCD$ - переходит таким образом в центр описанной сферы $ABCD$. Что и требовалось.
Второе решение. Пусть $O, O_A, O_B, O_C, O_D$ - центры описанных сфер тетраэдров $ABCD, BCDI, ACDI, ABDI, ABCI$ соответственно ($I$ - центр вписанной в $ABCD$ сферы). Покажем, что $O$ - центр описанной сферы тетраэдра $O_AO_BO_CO_D$. Действительно, отрезки $OO_A, OO_B, O_AO_B$ перпендикулярны плоскостям $BCD, ACD, ICD$ соответственно, причем плоскость $ICD$ составляет равные углы с плоскостями $BCD$ и $ACD$; поэтому $\triangle OO_AO_B$ равнобедренный, $OO_A = OO_B$. Остальные равенства получаются аналогично. Тогда тетраэдры $A_1B_1C_1D_1$ и $O_AO_BO_CO_D$ гомотетичны.
Отложим от точки $O_A$ вектор $\vec{O_AA_2} = \vec{IA_1/2}$, аналогично получаются точки $B_2, C_2, D_2$. Тогда, поскольку плоскости $A_1B_1C_1$ и $O_AO_BO_C$ параллельны, то плоскость $A_2B_2C_2$ также им параллельна; кроме того, поскольку $O_AO_BO_C$ - серединный перпендикуляр к $DI$, а расстояние между $A_2B_2C_2$ и $O_AO_BO_C$ вдвое меньше расстояния между $I$ и $A_1B_1C_1,$ то $A_2B_2C_2$ - плоскость, данная в условии. Но тогда из равенства $OA_2 = OO_A + \frac{IA_1}{2}$ - и аналогичных равенств следует требуемое.
