Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2006
2019-01-23 
Длины сторон треугольника являются корнями кубического уравнения с рациональными коэффициентами. Докажите, что длины высот треугольника являются корнями уравнения шестой степени с рациональными коэффициентами.
Решение:
В силу рациональности коэффициентов многочлена, можно считать, что он приведенный. Из теоремы Виета следует, что если $a, b, c$ - длины сторон треугольника, то $2p = a + b + c = A, ab + bc + ba = B, abc = C$ рациональны. Тогда из формулы Герона $S^2 = p \cdot (p^3 - Ap^2 + Bp - C)$ следует рациональность $S^2$. (Действительно, если $f(x) = 0$ - данное кубическое уравнение, то $\frac{S^2}{p} = f(p)$, так как $f(x) = (х - а)(х - b)(х - с)$.)
Из равенств $h_a = \frac{2S}{a}, hb = \frac{2S}{b}, hc = \frac{2S}{c}$ следует, что $h_a, h_b, h_c$ - корни уравнения
$\left (x^2 - \frac{4S^2}{a^2} \right ) \left (x^2 - \frac{4S^2}{b^2} \right ) \left (x^2 - \frac{4S^2}{c^2} \right ) = 0$,
имеющего рациональные коэффициента в силу тождеств $\frac{4S^2}{a^2} + \frac{4S^2}{b^2} + \frac{4S^2}{c^2} = \frac{4S^2}{C^2}(b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2) = \frac{4S^2}{C^2}(B^2 - 2AC), \frac{16S^4}{a^2b^2} + \frac{16S^4}{b^2c^2} + \frac{16S^4}{c^2a^2} = \frac{16S{^2}^2}{C^2}(a^2 + b^2 + c^2) = \frac{16{S^2}^2}{C^2}(A^2 - 2B), \frac{64S^6}{a^2b^2c^2} = \frac{64{S^2}^3}{C^2}$.
Длины сторон треугольника являются корнями кубического уравнения с рациональными коэффициентами. Докажите, что длины высот треугольника являются корнями уравнения шестой степени с рациональными коэффициентами.
Решение:
В силу рациональности коэффициентов многочлена, можно считать, что он приведенный. Из теоремы Виета следует, что если $a, b, c$ - длины сторон треугольника, то $2p = a + b + c = A, ab + bc + ba = B, abc = C$ рациональны. Тогда из формулы Герона $S^2 = p \cdot (p^3 - Ap^2 + Bp - C)$ следует рациональность $S^2$. (Действительно, если $f(x) = 0$ - данное кубическое уравнение, то $\frac{S^2}{p} = f(p)$, так как $f(x) = (х - а)(х - b)(х - с)$.)
Из равенств $h_a = \frac{2S}{a}, hb = \frac{2S}{b}, hc = \frac{2S}{c}$ следует, что $h_a, h_b, h_c$ - корни уравнения
$\left (x^2 - \frac{4S^2}{a^2} \right ) \left (x^2 - \frac{4S^2}{b^2} \right ) \left (x^2 - \frac{4S^2}{c^2} \right ) = 0$,
имеющего рациональные коэффициента в силу тождеств $\frac{4S^2}{a^2} + \frac{4S^2}{b^2} + \frac{4S^2}{c^2} = \frac{4S^2}{C^2}(b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2) = \frac{4S^2}{C^2}(B^2 - 2AC), \frac{16S^4}{a^2b^2} + \frac{16S^4}{b^2c^2} + \frac{16S^4}{c^2a^2} = \frac{16S{^2}^2}{C^2}(a^2 + b^2 + c^2) = \frac{16{S^2}^2}{C^2}(A^2 - 2B), \frac{64S^6}{a^2b^2c^2} = \frac{64{S^2}^3}{C^2}$.
