Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2003
2019-01-23 
Пусть $ \alpha , \beta , \gamma , \tau $ - такие положительные числа, что при всех $x \sin \alpha x + \sin \beta x = \sin \gamma x + \sin \tau x$. Докажите, что $ \alpha = \gamma$ или $\alpha = \tau $.
Решение:
Первое решение. Без ограничения общности можно считать $\alpha - \beta \geq 0, \gamma - \tau \geq 0$. Положим $a= \frac{\alpha + \beta}{2}, b= \frac{\alpha - \beta}{2}, c = \frac{\gamma + \tau}{2}, d = \frac{\gamma - \tau}{2}$ тогда условие задачи перепишется в виде
$\sin ax \cos bx = \sin cx \cos dx,$
где $a > b \geq 0, c > d \geq 0$.
Наименьший положительный корень $x_0$ левой части - число $\frac{\pi}{a}$ или $\frac{\pi}{2b}$, а правой - $\frac{\pi}{c}$ или $\frac{\pi}{2d}$. Если $а = с$, то $\cos bx = \cos dx$ и, значит, $b = d$. Из этих равенств следует требуемое.
Пусть $x_0 = \frac{\pi}{a}$. Если $\frac{\pi}{a} = \frac{\pi}{2d}$, то $а = 2d$, и из равенства функций $\sin 2dx \cos bx = \sin cx \cos dx$ следует
$2 \sin dx \cos bx = \sin cx$.
Приравнивая наименьшие положительные корни левой и правой частей, получаем $c = d$ (что невозможно) либо $c = 2b$. В последнем случае $\sin bx = \sin dx$, так что $b = d$. Тогда $\sin ax = \sin cx$, т. е. $a = c$. Так же $a = c$ и $b = d$ в случае $\frac{\pi}{a} = \frac{\pi}{c}$. Наконец, в случае $\frac{\pi}{2b} = \frac{\pi}{2d}$ также получаем $b = d$ и $a = c$.
Второе решение.
$\sin \alpha x + \sin \beta x = \sin \gamma x + \sin \tau x$. (1)
Продифференцируем данное равенство и положим $x = 0$:
$\alpha \cos \alpha x + \beta \cos \beta x = \gamma \cos \gamma x + \tau \cos \tau x \Rightarrow \alpha + \beta = \gamma + \tau$.
Возьмем третью производную и подставим $x = 0$:
$-\alpha^3 \cos \alpha x - \beta^3 \cos \beta x = -\gamma^3 \cos \gamma x - \tau^3 \cos \tau x \Rightarrow \alpha^3 + \beta^3 = \gamma^3 + \tau^3$.
Мы получили систему
$\begin{cases} \alpha + \beta = \gamma + \tau \\ \alpha^3 + \beta^3 = \gamma^3 + \tau^3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2 = \gamma^2 -\gamma\tau + \tau^2 \\ \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 = \gamma^2 + 2\gamma\tau + \tau^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \alpha\beta = \gamma\tau \\ \alpha + \beta = \gamma + \tau \end{cases} \Rightarrow$ пары $(\alpha, \beta)$ и $(\gamma, \tau)$ совпадают, что и требовалось.
Пусть $ \alpha , \beta , \gamma , \tau $ - такие положительные числа, что при всех $x \sin \alpha x + \sin \beta x = \sin \gamma x + \sin \tau x$. Докажите, что $ \alpha = \gamma$ или $\alpha = \tau $.
Решение:
Первое решение. Без ограничения общности можно считать $\alpha - \beta \geq 0, \gamma - \tau \geq 0$. Положим $a= \frac{\alpha + \beta}{2}, b= \frac{\alpha - \beta}{2}, c = \frac{\gamma + \tau}{2}, d = \frac{\gamma - \tau}{2}$ тогда условие задачи перепишется в виде
$\sin ax \cos bx = \sin cx \cos dx,$
где $a > b \geq 0, c > d \geq 0$.
Наименьший положительный корень $x_0$ левой части - число $\frac{\pi}{a}$ или $\frac{\pi}{2b}$, а правой - $\frac{\pi}{c}$ или $\frac{\pi}{2d}$. Если $а = с$, то $\cos bx = \cos dx$ и, значит, $b = d$. Из этих равенств следует требуемое.
Пусть $x_0 = \frac{\pi}{a}$. Если $\frac{\pi}{a} = \frac{\pi}{2d}$, то $а = 2d$, и из равенства функций $\sin 2dx \cos bx = \sin cx \cos dx$ следует
$2 \sin dx \cos bx = \sin cx$.
Приравнивая наименьшие положительные корни левой и правой частей, получаем $c = d$ (что невозможно) либо $c = 2b$. В последнем случае $\sin bx = \sin dx$, так что $b = d$. Тогда $\sin ax = \sin cx$, т. е. $a = c$. Так же $a = c$ и $b = d$ в случае $\frac{\pi}{a} = \frac{\pi}{c}$. Наконец, в случае $\frac{\pi}{2b} = \frac{\pi}{2d}$ также получаем $b = d$ и $a = c$.
Второе решение.
$\sin \alpha x + \sin \beta x = \sin \gamma x + \sin \tau x$. (1)
Продифференцируем данное равенство и положим $x = 0$:
$\alpha \cos \alpha x + \beta \cos \beta x = \gamma \cos \gamma x + \tau \cos \tau x \Rightarrow \alpha + \beta = \gamma + \tau$.
Возьмем третью производную и подставим $x = 0$:
$-\alpha^3 \cos \alpha x - \beta^3 \cos \beta x = -\gamma^3 \cos \gamma x - \tau^3 \cos \tau x \Rightarrow \alpha^3 + \beta^3 = \gamma^3 + \tau^3$.
Мы получили систему
$\begin{cases} \alpha + \beta = \gamma + \tau \\ \alpha^3 + \beta^3 = \gamma^3 + \tau^3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2 = \gamma^2 -\gamma\tau + \tau^2 \\ \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 = \gamma^2 + 2\gamma\tau + \tau^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \alpha\beta = \gamma\tau \\ \alpha + \beta = \gamma + \tau \end{cases} \Rightarrow$ пары $(\alpha, \beta)$ и $(\gamma, \tau)$ совпадают, что и требовалось.
