Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2000
2019-01-22 
Последовательность натуральных чисел $a_n$ строится следующим образом: $a_0$ - некоторое натуральное число; $a_{n+1} = \frac {a_n}{5}$ если $a_n$ делится на 5; $a_{n+1} = | \sqrt{5}a_n |$, если $a_n$ не делится на 5 (через $[x]$ обозначена целая часть от $x$, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность $a_n$ возрастает.
Решение:
Условие эквивалентно тому, что начиная с некоторого $n$ число $a_n$ не делится на 5. Докажем это.
Покажем, что найдутся 2 соседних члена последовательности, не делящихся на 5. Предположим противное. Тогда для любого $n$ либо $a_{n+2}$ получается из $a_n$ делением на 5, либо $a_{n+2}$ получается из $a_{n+1}$ делением на 5. Заметим, что всегда $a_{k+1} \leq \sqrt{5}a_k$, поэтому $a_{n+2} \leq a_n \cdot \sqrt{5}/5 < a_n$. Это означает, что последовательность натуральных чисел $a_1, a_3, a_5, \cdots $ строго монотонно убывает, - противоречие.
Итак, доказано, что найдутся $a_k$ и $a_{k+1}$, не делящиеся на 5. Докажем, что $a_{k+2}$ также не делится на 5. Так же последовательно получим, что $a_{k+3}, a_{k+4}, \cdots$ не делятся на 5, откуда следует решение задачи. По условию $a_{k+1} = [\sqrt{5}a_k], a_{k+2} = [\sqrt{5}a_{k+1}]$. Положим $a_k = m$, тогда $a_{k+1} = \sqrt{5}m - \alpha,$ где $0 < \alpha < 1$. Далее, $a_{k+2} = [\sqrt{5}( \sqrt{5}m - \alpha)] = 5m +[- \sqrt{5} \alpha]$. Но поскольку $0 < \sqrt{5} \alpha < 3$, получаем, что $5m - 3 \leq a_{k+2} < 5m$, т. е. a_{k+2} не делится на 5.
Последовательность натуральных чисел $a_n$ строится следующим образом: $a_0$ - некоторое натуральное число; $a_{n+1} = \frac {a_n}{5}$ если $a_n$ делится на 5; $a_{n+1} = | \sqrt{5}a_n |$, если $a_n$ не делится на 5 (через $[x]$ обозначена целая часть от $x$, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность $a_n$ возрастает.
Решение:
Условие эквивалентно тому, что начиная с некоторого $n$ число $a_n$ не делится на 5. Докажем это.
Покажем, что найдутся 2 соседних члена последовательности, не делящихся на 5. Предположим противное. Тогда для любого $n$ либо $a_{n+2}$ получается из $a_n$ делением на 5, либо $a_{n+2}$ получается из $a_{n+1}$ делением на 5. Заметим, что всегда $a_{k+1} \leq \sqrt{5}a_k$, поэтому $a_{n+2} \leq a_n \cdot \sqrt{5}/5 < a_n$. Это означает, что последовательность натуральных чисел $a_1, a_3, a_5, \cdots $ строго монотонно убывает, - противоречие.
Итак, доказано, что найдутся $a_k$ и $a_{k+1}$, не делящиеся на 5. Докажем, что $a_{k+2}$ также не делится на 5. Так же последовательно получим, что $a_{k+3}, a_{k+4}, \cdots$ не делятся на 5, откуда следует решение задачи. По условию $a_{k+1} = [\sqrt{5}a_k], a_{k+2} = [\sqrt{5}a_{k+1}]$. Положим $a_k = m$, тогда $a_{k+1} = \sqrt{5}m - \alpha,$ где $0 < \alpha < 1$. Далее, $a_{k+2} = [\sqrt{5}( \sqrt{5}m - \alpha)] = 5m +[- \sqrt{5} \alpha]$. Но поскольку $0 < \sqrt{5} \alpha < 3$, получаем, что $5m - 3 \leq a_{k+2} < 5m$, т. е. a_{k+2} не делится на 5.
