ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-01-22   
Диагонали вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Пусть $S_1$ и $S_2$ - соответственно окружности, описанные около треугольников $ABO$ и $CDO, O$ и $K$ - точки пересечения окружностей $S_1$ и $S_2$. Прямые, проходящие через точку $O$ параллельно прямым $AB$ и $CD$, вторично пересекают $S_1$ и $S_2$ в точках $L$ и $M$ соответственно. На отрезках $OL$ и $OM$ выбраны соответственно точки $P$ и $Q$ так, что $OP : PL = MQ : QO$. Докажите, что точки $O, K, P, Q$ лежат на одной окружности.


Решение:



Не умаляя общности, можно считать, что $\angle ABO \geq \angle BAO$, тогда $ABOL$ и $DCOM$ - равнобокие трапеции (см. рис.). Заметим, что $LO$ - касательная к $S_2$, поскольку $\angle LOD = \angle ABD = \angle OCD$; аналогично $OM$ - касательная к $S_1$. Тогда $\angle KMO = \angle KOL, \angle KLO = \angle KOM$. Значит, треугольники $KOM$ и $KLO$ подобны. Но тогда подобны и треугольники $KOP$ и $KMQ$. Отсюда $\angle KPO = \angle KQM = \pi - \angle KQO$. Значит, четырехугольник $KPOQ$ - вписанный.