Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1996
2019-01-22 
Числовое множество $M$, содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов $a, b, с$ из $M$ число $a^2 + bc$ рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное $n$, что для любого $а$ из $M$ число $a \sqrt {n}$ рационально.
Решение:
Возьмем четыре различных числа $a, b, c, d \in M$. Из рациональности чисел $d^2 + ab$ и $d^2 + bc$ следует рациональность $bc - ab,$ откуда $a^2 + ab = a^2 + bc - (bc - ab) \in \mathbb{Q}$. Аналогично, $b^2 + ab \in \mathbb{Q}$. Поэтому для произвольных различных $a, b \in M$ число $q = \frac{a}{b} = \frac{a^2 + ab}{b^2 + ab} \in \mathbb{Q}$. Тогда $a = qb \Rightarrow a^2 + ab = b^2(q^2 + q) = l \in \mathbb{Q}, b = \sqrt{\frac{l}{q^2 + q}} = \sqrt{\frac{m}{k}}, m, k \in \mathbb{N}$.
Значит, число $b\sqrt{n}$, где $n = mk$, рационально. Тогда $csqrt{n} = \frac{c}{b} \cdot b \sqrt{n} \in \mathbb{Q}$ для любого $c \in M$.
Числовое множество $M$, содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов $a, b, с$ из $M$ число $a^2 + bc$ рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное $n$, что для любого $а$ из $M$ число $a \sqrt {n}$ рационально.
Решение:
Возьмем четыре различных числа $a, b, c, d \in M$. Из рациональности чисел $d^2 + ab$ и $d^2 + bc$ следует рациональность $bc - ab,$ откуда $a^2 + ab = a^2 + bc - (bc - ab) \in \mathbb{Q}$. Аналогично, $b^2 + ab \in \mathbb{Q}$. Поэтому для произвольных различных $a, b \in M$ число $q = \frac{a}{b} = \frac{a^2 + ab}{b^2 + ab} \in \mathbb{Q}$. Тогда $a = qb \Rightarrow a^2 + ab = b^2(q^2 + q) = l \in \mathbb{Q}, b = \sqrt{\frac{l}{q^2 + q}} = \sqrt{\frac{m}{k}}, m, k \in \mathbb{N}$.
Значит, число $b\sqrt{n}$, где $n = mk$, рационально. Тогда $csqrt{n} = \frac{c}{b} \cdot b \sqrt{n} \in \mathbb{Q}$ для любого $c \in M$.
