Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1994
2019-01-22 
Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных $m, n > 100$ сумма чисел в любом прямоугольнике $m \times n$ клеток делилась на $m + n$?
Решение:
Рассмотрим любой квадрат $A$ размером $200 \times 200$ клеток. Пусть он будет угловым квадратом некоторого квадрата $B$ размером $200t \times 200t$ клеток, где $t$ - некоторое натуральное число, на которое не делится сумма чисел в квадрате $A$. Разобьем фигуру $B \ A$ на прямоугольники размером $200 \times 200(t - 1)$. В каждом из этих прямоугольников по условию сумма чисел будет делиться на $t$, в квадрате $B$ - тоже, значит, и в квадрате $A$ сумма чисел будет делиться на $t$, что невозможно в силу выбора $t$.
Ответ. Нельзя.
Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных $m, n > 100$ сумма чисел в любом прямоугольнике $m \times n$ клеток делилась на $m + n$?
Решение:
Рассмотрим любой квадрат $A$ размером $200 \times 200$ клеток. Пусть он будет угловым квадратом некоторого квадрата $B$ размером $200t \times 200t$ клеток, где $t$ - некоторое натуральное число, на которое не делится сумма чисел в квадрате $A$. Разобьем фигуру $B \ A$ на прямоугольники размером $200 \times 200(t - 1)$. В каждом из этих прямоугольников по условию сумма чисел будет делиться на $t$, в квадрате $B$ - тоже, значит, и в квадрате $A$ сумма чисел будет делиться на $t$, что невозможно в силу выбора $t$.
Ответ. Нельзя.
