Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1993
2019-01-22 
Пусть $a, b, с$ - положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:
$\frac{1}{1 - a} + \frac{1}{1 - b} + \frac{1}{1 - c} \geq \frac{2}{1 + a} + \frac{2}{1 + b} + \frac{2}{1 + c}$
Решение:
Первое решение. Воспользуемся следующими неравенствами: $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} \geq \frac{4}{a+2b+c}, \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} \geq \frac{4}{b+2c+a}, \frac{1}{c+a} + \frac{1}{a+b} \geq \frac{4}{c+2a+b}$, которые следуют из очевидного неравенства $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$ для положительных $x, у$. Сложив эти 3 неравенства, получим неравенство $\frac{2}{a+b} + \frac{2}{b+c} + \frac{2}{c+a} \geq \frac{4}{a+2b+c} + \frac{4}{b+2c+a} + \frac{4}{c+2a+b}$, которое после сокращения на 2 и замены в знаменателях дробей $a + b + с$ на 1 превратится в доказываемое неравенство.
Второе решение. Не умаляя общности, можно считать, что $a \geq b \geq с$, тогда $1 - с^2 \geq 1 - b^2 \geq 1 - a^2$ и, следовательно,
$\frac{1}{1-a^2} \geq \frac{1}{1-b^2} \geq \frac{1}{1-c^2}$.
Заметим, что
$\frac{1}{1-a} - \frac{2}{1+a} = \frac{3a-1}{1-a^2}$.
Таким образом, нужно доказать неравенство
$\frac{3a-1}{1-a^2} + \frac{3b-1}{1-b^2} + \frac{3c - 1}{1 - c^2} \geq 0$.
Поскольку сумма числителей равна 0, неравенство будет доказано, если мы заменим знаменатели на равные таким образом, что каждая дробь при этом не увеличится. Если $а \geq b \geq \frac{1}{3} \geq с$, то заменим все знаменатели на $1 - с^2$, в результате отрицательное слагаемое не изменится, а положительные не увеличатся. Если $а \geq \frac{1}{3} \geq b \geq с$, то заменим все знаменатели на $1 - b^2$, тогда положительное и одно из отрицательных слагаемое только уменьшатся, а второе отрицательное слагаемое останется неизменным.
Пусть $a, b, с$ - положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:
$\frac{1}{1 - a} + \frac{1}{1 - b} + \frac{1}{1 - c} \geq \frac{2}{1 + a} + \frac{2}{1 + b} + \frac{2}{1 + c}$
Решение:
Первое решение. Воспользуемся следующими неравенствами: $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} \geq \frac{4}{a+2b+c}, \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} \geq \frac{4}{b+2c+a}, \frac{1}{c+a} + \frac{1}{a+b} \geq \frac{4}{c+2a+b}$, которые следуют из очевидного неравенства $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$ для положительных $x, у$. Сложив эти 3 неравенства, получим неравенство $\frac{2}{a+b} + \frac{2}{b+c} + \frac{2}{c+a} \geq \frac{4}{a+2b+c} + \frac{4}{b+2c+a} + \frac{4}{c+2a+b}$, которое после сокращения на 2 и замены в знаменателях дробей $a + b + с$ на 1 превратится в доказываемое неравенство.
Второе решение. Не умаляя общности, можно считать, что $a \geq b \geq с$, тогда $1 - с^2 \geq 1 - b^2 \geq 1 - a^2$ и, следовательно,
$\frac{1}{1-a^2} \geq \frac{1}{1-b^2} \geq \frac{1}{1-c^2}$.
Заметим, что
$\frac{1}{1-a} - \frac{2}{1+a} = \frac{3a-1}{1-a^2}$.
Таким образом, нужно доказать неравенство
$\frac{3a-1}{1-a^2} + \frac{3b-1}{1-b^2} + \frac{3c - 1}{1 - c^2} \geq 0$.
Поскольку сумма числителей равна 0, неравенство будет доказано, если мы заменим знаменатели на равные таким образом, что каждая дробь при этом не увеличится. Если $а \geq b \geq \frac{1}{3} \geq с$, то заменим все знаменатели на $1 - с^2$, в результате отрицательное слагаемое не изменится, а положительные не увеличатся. Если $а \geq \frac{1}{3} \geq b \geq с$, то заменим все знаменатели на $1 - b^2$, тогда положительное и одно из отрицательных слагаемое только уменьшатся, а второе отрицательное слагаемое останется неизменным.
