Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1991
2019-01-22 
Последовательность $\{ a_n \}$ строится следующим образом: $a_1 = p$ - простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, $a_{n+1}$ - период десятичной дроби $1/a_n$, умноженный на 2. Найдите число $a_{2003}$.
Решение:
Пусть в записи числа $1/n$ есть предпериод $A$ из $m$ цифр и период $B$ из $k$ цифр. Тогда из формулы суммы геометрической прогрессии имеем
$\frac{1}{n} = \frac{A}{10^m} + \frac{B}{10^m(10^k - 1)} = \frac{A(10^k - 1) + B}{10^m(10^k - 1)}$.
Следовательно, $10^m(10^k - 1) \vdots n$. Наоборот, пусть $m, k$ - наименьшие числа такие, что $10^m(10^k - 1) \vdots n$ (т. е. $m$ есть максимальная из степеней двойки и пятерки, на которые делится $n$, а $k$ - минимальное число такое, что $(10^k - 1) \vdots \frac{n}{\:НОД(n, 10^m)}$, и пусть $C = \frac{10^m(10^k - 1)}{n}$. Положим $А = \left [\frac{C}{10^k - 1} \right ], В = С - А(10^k - 1)$. Тогда $В < 10^k - 1, А < 10^m$, и дробь $1/n$ имеет предпериод $A$ (с нулями, дополняющими его до $m$ цифр) и период $B$ (аналогично), ибо $m$ и $k$ были выбраны минимальными.
Из условия на $p$ следует, что $p \neq 2, p \neq 5$ и $p$ не может быть числом, в десятичной записи которого присутствуют только нули и единицы. Последнее следует из того, что сумма цифр такого числа должна равняться 300, и, значит, оно не простое. Мы докажем, что последовательность ${a_n}$ будет периодической с периодом 2. Период обыкновенной дроби $1/p$ равен $(10^n - 1)/p$, где $n$ - наименьшее натуральное число, для которого $(10^n - 1) \vdots p$. Таким образом, $a_2 = 2(10^n - 1)/p$. Докажем, что $а_3 = 10p$. Поскольку $a_2$ делится на 2, но не делится ни на 22, ни на 5, период обыкновенной дроби $1/a^2$ будет равен $(10^{k+1} - 10)/a^2$, где $к$ - наименьшее натуральное число, для которого $(10^{k+1} - 10) \vdots a_2 = 2(10^n - 1)/p$ (в обозначениях первого абзаца $A = 0$, так как $a_2 > 10 (a_2 \vdots 18)$, поэтому $B = C$). Следовательно, к является наименьшим натуральным числом, для которого
$(10^k - 1)p \vdots 10^n - 1$. (*)
Покажем, что в этом случае $k = n$. Сначала установим, что $n \vdots k$. Предположим противное, тогда $n = kq + r,$ где $0 < r < k$. Заметим, что
$(10^{kq} - 1)p \vdots (10^k - 1)p \vdots (10^n - 1)$ и $(10^n - 1) \vdots (10^n - 1)$.
А значит,
$10^{kq}(10^r - 1)p = ((10^n - 1)p - (10^{kq} - 1)p) \vdots (10^n - 1)$.
Стало быть, $(10^r - 1)p \vdots (10^n - 1)$, что невозможно, ибо $k$ было наименьшим числом, удовлетворяющим условию (*). Поэтому, $n = km$ и $(10^k - 1)p \vdots (10^{mk} - 1)$. Отсюда заключаем, что $p \vdots (10^{k(m-1)} + 10^{k(m-2)} +\cdots + 10^k + 1)$. Но $p$ - простое число, следовательно, если $m \neq 1,$ то $p = 10^{k(m-1)} + 10^{k(m-2)} + \cdots + 10^k + 1$, что невозможно, ибо $p$ не может быть числом из нулей и единиц. Итак, мы установили, что $k = n$, а значит $a_3 = (10^{n+1} - 10)/a_2 = 10p$. Для завершения решения осталось лишь заметить, что периоды чисел $1/p$ и $1/(10p)$ равны.
Ответ. $a_{2003} = 10p$.
Последовательность $\{ a_n \}$ строится следующим образом: $a_1 = p$ - простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, $a_{n+1}$ - период десятичной дроби $1/a_n$, умноженный на 2. Найдите число $a_{2003}$.
Решение:
Пусть в записи числа $1/n$ есть предпериод $A$ из $m$ цифр и период $B$ из $k$ цифр. Тогда из формулы суммы геометрической прогрессии имеем
$\frac{1}{n} = \frac{A}{10^m} + \frac{B}{10^m(10^k - 1)} = \frac{A(10^k - 1) + B}{10^m(10^k - 1)}$.
Следовательно, $10^m(10^k - 1) \vdots n$. Наоборот, пусть $m, k$ - наименьшие числа такие, что $10^m(10^k - 1) \vdots n$ (т. е. $m$ есть максимальная из степеней двойки и пятерки, на которые делится $n$, а $k$ - минимальное число такое, что $(10^k - 1) \vdots \frac{n}{\:НОД(n, 10^m)}$, и пусть $C = \frac{10^m(10^k - 1)}{n}$. Положим $А = \left [\frac{C}{10^k - 1} \right ], В = С - А(10^k - 1)$. Тогда $В < 10^k - 1, А < 10^m$, и дробь $1/n$ имеет предпериод $A$ (с нулями, дополняющими его до $m$ цифр) и период $B$ (аналогично), ибо $m$ и $k$ были выбраны минимальными.
Из условия на $p$ следует, что $p \neq 2, p \neq 5$ и $p$ не может быть числом, в десятичной записи которого присутствуют только нули и единицы. Последнее следует из того, что сумма цифр такого числа должна равняться 300, и, значит, оно не простое. Мы докажем, что последовательность ${a_n}$ будет периодической с периодом 2. Период обыкновенной дроби $1/p$ равен $(10^n - 1)/p$, где $n$ - наименьшее натуральное число, для которого $(10^n - 1) \vdots p$. Таким образом, $a_2 = 2(10^n - 1)/p$. Докажем, что $а_3 = 10p$. Поскольку $a_2$ делится на 2, но не делится ни на 22, ни на 5, период обыкновенной дроби $1/a^2$ будет равен $(10^{k+1} - 10)/a^2$, где $к$ - наименьшее натуральное число, для которого $(10^{k+1} - 10) \vdots a_2 = 2(10^n - 1)/p$ (в обозначениях первого абзаца $A = 0$, так как $a_2 > 10 (a_2 \vdots 18)$, поэтому $B = C$). Следовательно, к является наименьшим натуральным числом, для которого
$(10^k - 1)p \vdots 10^n - 1$. (*)
Покажем, что в этом случае $k = n$. Сначала установим, что $n \vdots k$. Предположим противное, тогда $n = kq + r,$ где $0 < r < k$. Заметим, что
$(10^{kq} - 1)p \vdots (10^k - 1)p \vdots (10^n - 1)$ и $(10^n - 1) \vdots (10^n - 1)$.
А значит,
$10^{kq}(10^r - 1)p = ((10^n - 1)p - (10^{kq} - 1)p) \vdots (10^n - 1)$.
Стало быть, $(10^r - 1)p \vdots (10^n - 1)$, что невозможно, ибо $k$ было наименьшим числом, удовлетворяющим условию (*). Поэтому, $n = km$ и $(10^k - 1)p \vdots (10^{mk} - 1)$. Отсюда заключаем, что $p \vdots (10^{k(m-1)} + 10^{k(m-2)} +\cdots + 10^k + 1)$. Но $p$ - простое число, следовательно, если $m \neq 1,$ то $p = 10^{k(m-1)} + 10^{k(m-2)} + \cdots + 10^k + 1$, что невозможно, ибо $p$ не может быть числом из нулей и единиц. Итак, мы установили, что $k = n$, а значит $a_3 = (10^{n+1} - 10)/a_2 = 10p$. Для завершения решения осталось лишь заметить, что периоды чисел $1/p$ и $1/(10p)$ равны.
Ответ. $a_{2003} = 10p$.
