Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1988
2019-01-22 
Числовое множество $M$, содержащее 2003 различных числа, таково, что для любых двух различных элементов $a, b$ из $M$ число $a^2 + b \sqrt {2}$ рационально. Докажите, что для любого $a$ из $M$ число $a \sqrt {2}$ рационально.
Решение:
Возьмем три различных числа $a, b, с \in M$. Из рациональности чисел $a^2 + b \sqrt{2}, b2 + a \sqrt{2}, с^2 + a \sqrt{2}, с^2 + b\sqrt{2}$ следует рациональность чисел $a^2 + b\sqrt{2} - (b^2 + a \sqrt{2}) = (a - Ь)(a + b - \sqrt{2}) = \frac{1}{2} (a \sqrt{2} - b\sqrt{2})(a\sqrt{2} + b\sqrt{2} - 2)$ и $с^2 + a \sqrt{2} - (с^2 + b\sqrt{2}) = a \sqrt{2} - b\sqrt{2}$, т. е. числа $a \sqrt{2} + b\sqrt{2}$. Значит, $a \sqrt{2} = \frac{1}{2} (a \sqrt{2} + b \sqrt{2} + a \sqrt{2} - b \sqrt{2})$ рационально.
Числовое множество $M$, содержащее 2003 различных числа, таково, что для любых двух различных элементов $a, b$ из $M$ число $a^2 + b \sqrt {2}$ рационально. Докажите, что для любого $a$ из $M$ число $a \sqrt {2}$ рационально.
Решение:
Возьмем три различных числа $a, b, с \in M$. Из рациональности чисел $a^2 + b \sqrt{2}, b2 + a \sqrt{2}, с^2 + a \sqrt{2}, с^2 + b\sqrt{2}$ следует рациональность чисел $a^2 + b\sqrt{2} - (b^2 + a \sqrt{2}) = (a - Ь)(a + b - \sqrt{2}) = \frac{1}{2} (a \sqrt{2} - b\sqrt{2})(a\sqrt{2} + b\sqrt{2} - 2)$ и $с^2 + a \sqrt{2} - (с^2 + b\sqrt{2}) = a \sqrt{2} - b\sqrt{2}$, т. е. числа $a \sqrt{2} + b\sqrt{2}$. Значит, $a \sqrt{2} = \frac{1}{2} (a \sqrt{2} + b \sqrt{2} + a \sqrt{2} - b \sqrt{2})$ рационально.
