Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1986
2019-01-22 
Пусть $ABCD$ - вписанный четырехугольник. $O$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Пусть окружности, описанные около треугольников $ABO$ и $COD$, пересекаются в точке $K$. Точка $L$ такова, что треугольники $BLC$ и $AKD$ соответственно подобны. Докажите, что если четырехугольник $BLCK$ выпуклый, то он является описанным.
Решение:
Будем считать, что $K$ лежит в $\triangle AOD$ (все остальные случаи разбираются аналогично).
Пусть $L^{\prime}$ - точка, симметричная $L$ относительно $BC$ (см. рис.). Тогда
$\angle L^{\prime}BO = \angle OBC - \angle L^{\prime}BC = \angle OBC - \angle LBC$,
но $\angle OBC = \angle OAD$, так как $ABCD$ - вписанный, следовательно,
$\angle L^{\prime}BO = \angle OAD - \angle KAD = \angle OAK = \angle OBK$,
так как $\triangle BOK$ - вписанный. Значит, $\angle L^{\prime}BO = \angle OBK$. Аналогично, $\angle L^{\prime}CO = \angle OCK$.
Далее, $\angle BKO = \angle BAO = \angle CDO = \angle CKO$, так как четырехугольники $ABCD, ABOK$ и $CDKO$ - вписанные.
Теперь рассмотрим четырехугольник $BL^{\prime}CK$ (см. рис). Пусть $N$ - точка пересечения $CK$ и $BL^{\prime}, M$ - точка пересечения $BK$ и $CL^{\prime}$.
Так как $CO$ - биссектриса $\angle MCK, BO$ - биссектриса $\angle NBK,$ а $KO$ - биссектриса $\angle MKN$, то $O$ равноудалена от сторон четырехугольника $ML^{\prime}NK$ и является центром вписанной в него окружности. Пусть $P, Q, R, T$ - точки касания этой окружности со сторонами $ML^{\prime}, L^{\prime}N, NK$ и $KM$ соответственно. Тогда
$CK + BL^{\prime} = (CR + KR) + (BQ - L^{\prime}Q) = CP + KT + BT - L^{\prime}P = (KT + BT) + (CP - L^{\prime}P) = KB + CL^{\prime}$.
Значит, $CK + BL = KB + CL$, и четырехугольник $BLCK$ является описанным, что и требовалось доказать.
Пусть $ABCD$ - вписанный четырехугольник. $O$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Пусть окружности, описанные около треугольников $ABO$ и $COD$, пересекаются в точке $K$. Точка $L$ такова, что треугольники $BLC$ и $AKD$ соответственно подобны. Докажите, что если четырехугольник $BLCK$ выпуклый, то он является описанным.
Решение:
Будем считать, что $K$ лежит в $\triangle AOD$ (все остальные случаи разбираются аналогично).
Пусть $L^{\prime}$ - точка, симметричная $L$ относительно $BC$ (см. рис.). Тогда
$\angle L^{\prime}BO = \angle OBC - \angle L^{\prime}BC = \angle OBC - \angle LBC$,
но $\angle OBC = \angle OAD$, так как $ABCD$ - вписанный, следовательно,
$\angle L^{\prime}BO = \angle OAD - \angle KAD = \angle OAK = \angle OBK$,
так как $\triangle BOK$ - вписанный. Значит, $\angle L^{\prime}BO = \angle OBK$. Аналогично, $\angle L^{\prime}CO = \angle OCK$.
Далее, $\angle BKO = \angle BAO = \angle CDO = \angle CKO$, так как четырехугольники $ABCD, ABOK$ и $CDKO$ - вписанные.
Теперь рассмотрим четырехугольник $BL^{\prime}CK$ (см. рис). Пусть $N$ - точка пересечения $CK$ и $BL^{\prime}, M$ - точка пересечения $BK$ и $CL^{\prime}$.
Так как $CO$ - биссектриса $\angle MCK, BO$ - биссектриса $\angle NBK,$ а $KO$ - биссектриса $\angle MKN$, то $O$ равноудалена от сторон четырехугольника $ML^{\prime}NK$ и является центром вписанной в него окружности. Пусть $P, Q, R, T$ - точки касания этой окружности со сторонами $ML^{\prime}, L^{\prime}N, NK$ и $KM$ соответственно. Тогда
$CK + BL^{\prime} = (CR + KR) + (BQ - L^{\prime}Q) = CP + KT + BT - L^{\prime}P = (KT + BT) + (CP - L^{\prime}P) = KB + CL^{\prime}$.
Значит, $CK + BL = KB + CL$, и четырехугольник $BLCK$ является описанным, что и требовалось доказать.
