Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1985
2019-01-22 
Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы 2002 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр и в виде суммы 2003 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр.
Решение:
Пусть для натурального числа $n$ имеют место указанные представления:
$n = a_1 + \cdots + a_{2002} = b_1 + \cdots + b_{2003}$.
Воспользуемся тем, что каждое из чисел $a_1, \cdots, a_{2002}$ дает такой же остаток nри делении на 9, что и сумма цифр; обозначим этот остаток через $r (0 \leq r \leq 8)$, а соответствующий остаток для чисел $b_1, \cdots, b_{2003}$ - через $s (0 \leq s \leq 8)$.
Тогда числа $n - 2002r$ и $n - 2003s$ кратны 9, а значит, и число $(n - 2002r) - (n - 2003s) = 2003s - 2002r = 2003(r + s) - 4005r$ кратно 9. Число $4005r$ также кратно 9, а число 2003 - взаимно просто с 9; отсюда следует, что число $r + s$ кратно 9.
Если при этом $r = s = 0$, то $n \geq 9 \cdot 2003$ (поскольку $b_1, \cdots, b_{2003}$ делятся на 9). Если же $r \neq 0,$ то $r + s = 9$, и потому имеет место nо крайней мере одно из неравенств: $r \geq 5$ или $s \geq 5$; для числа $n$ получаются неравенства $n \geq 5 \cdot 2002$ или $n \geq 5 \cdot 2003$ соответственно.
А так как $10010 = 5 \cdot 2002 = 4 \cdot 2002 + 2002 \cdot 1$, и числа $4$ и $2002$ имеют одинаковую сумму цифр, то число 10010 - искомое.
Ответ. 10010.
Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы 2002 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр и в виде суммы 2003 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр.
Решение:
Пусть для натурального числа $n$ имеют место указанные представления:
$n = a_1 + \cdots + a_{2002} = b_1 + \cdots + b_{2003}$.
Воспользуемся тем, что каждое из чисел $a_1, \cdots, a_{2002}$ дает такой же остаток nри делении на 9, что и сумма цифр; обозначим этот остаток через $r (0 \leq r \leq 8)$, а соответствующий остаток для чисел $b_1, \cdots, b_{2003}$ - через $s (0 \leq s \leq 8)$.
Тогда числа $n - 2002r$ и $n - 2003s$ кратны 9, а значит, и число $(n - 2002r) - (n - 2003s) = 2003s - 2002r = 2003(r + s) - 4005r$ кратно 9. Число $4005r$ также кратно 9, а число 2003 - взаимно просто с 9; отсюда следует, что число $r + s$ кратно 9.
Если при этом $r = s = 0$, то $n \geq 9 \cdot 2003$ (поскольку $b_1, \cdots, b_{2003}$ делятся на 9). Если же $r \neq 0,$ то $r + s = 9$, и потому имеет место nо крайней мере одно из неравенств: $r \geq 5$ или $s \geq 5$; для числа $n$ получаются неравенства $n \geq 5 \cdot 2002$ или $n \geq 5 \cdot 2003$ соответственно.
А так как $10010 = 5 \cdot 2002 = 4 \cdot 2002 + 2002 \cdot 1$, и числа $4$ и $2002$ имеют одинаковую сумму цифр, то число 10010 - искомое.
Ответ. 10010.
