Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1983
2019-01-22 
Докажите, что для всех $x \in (0; \frac{\pi }{2})$ при $n > m$, где $n, m$ - натуральные, справедливо неравенство $2 | \sin^n x - \cos^n x|\leq 32 | \sin^m x - \cos^m x|$.
Решение:
Первое решение. Достаточно доказать это неравенство при $0 < x < \frac{\pi}{4}$ (при $x = \frac{\pi}{4}$ оно очевидно, при $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ получается заменой $у = \frac{\pi}{2} - x)$. При $k \geq 2$ имеем
$\cos^k x - \sin^k x = (\cos^{k+2} x - \sin^k x)(\sin^2 x + \cos^2 x) = (\cos^{k+2} x - \sin^{k+2} x) + \sin^2 x \cos^2 x(\cos^{k-2} x - \sin^{k-2} x) \geq \cos^{k+2} x - \sin^{k+2} x$.
Поэтому неравенство сводится к случаю $n = m + 1$, за исключением $n = 3$. Кроме того,
$\frac{\cos^n x - \sin^n x}{\cos^{n-1} x - \sin^{n-1} x} \leq \frac{\cos^k x - \sin^k x}{\cos^{k-1} x - \sin^{k-1} x}$
при $n \geq k > 1$. Действительно, приведя к общему знаменателю, получаем неравенство
$\sin^{k-1} x \cos^{k-1} x(\cos^{n-k} x - \sin^{n-k} x)(\cos x - \sin x) \geq 0$,
которое очевидно. Поэтому неравенство сводится к случаям $n = 3, m = 1$ и $n = 2, m = 1$. Докаxем их:
$\cos^3 x - \sin^3 x = (\cos x - \sin x)(l + \sin x \cos x) \leq \frac{3}{2}(\cos x - \sin x),$
поскольку $\cos x \sin x = \frac{1}{2} \sin 2x \leq \frac{1}{2}$;
$\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x) (\cos x + \sin x) \leq \frac{3}{2} (\cos x - \sin x),$
ибо $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left (x + \frac{\pi}{4} \right ) \leq \frac{3}{2}$.
Второе решение. Опять же, неравенство достаточно доказать для $0 < x < \frac{\pi}{4}$. Рассмотрим $f(y) = cos^y x - sin^y x,$ где $0 < x < \frac{\pi}{4}, y \geq 0$. Имеем: $f(0) = 0, f(y) > 0$ при $y > 0, f(y) > 0$ при $y \rightarrow \infty$. Далее,
$f^{\prime}(y) = \cos^y x ln \cos x - \sin^y ln \sin x = \cos^y x(ln \cos x - tg^y x ln \sin x)$,
поэтому $f^{\prime}(y)$ имеет единственный корень при $y > 0$, так как функция $g(y) = tg^y x$ монотонна. Из $f(2) = f(2)(\cos^2 x + \sin^2 x) = f(4)$ следует, что $f^{\prime}(2) > 0, f^{\prime}(4) < 0$. Отсюда, при $n > m \geq 3$ получаем неравенство
$|\sin^n x - \cos^n x| \geq |sin^m x - cos^m x|$.
Если же $m \leq 2$, то из соотношений $f(1) \leq f(2) \leq f(3) \geq f(n)$ при $n > 3$ видно, что достаточно доказать неравенство $3f(1) \geq 2f(3)$, которое следует из $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2} \leq \frac{1}{2}$, поскольку $f(3) = f(1)(1 + \sin x \cos x) \leq \frac{3}{2}f(1)$.
Докажите, что для всех $x \in (0; \frac{\pi }{2})$ при $n > m$, где $n, m$ - натуральные, справедливо неравенство $2 | \sin^n x - \cos^n x|\leq 32 | \sin^m x - \cos^m x|$.
Решение:
Первое решение. Достаточно доказать это неравенство при $0 < x < \frac{\pi}{4}$ (при $x = \frac{\pi}{4}$ оно очевидно, при $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ получается заменой $у = \frac{\pi}{2} - x)$. При $k \geq 2$ имеем
$\cos^k x - \sin^k x = (\cos^{k+2} x - \sin^k x)(\sin^2 x + \cos^2 x) = (\cos^{k+2} x - \sin^{k+2} x) + \sin^2 x \cos^2 x(\cos^{k-2} x - \sin^{k-2} x) \geq \cos^{k+2} x - \sin^{k+2} x$.
Поэтому неравенство сводится к случаю $n = m + 1$, за исключением $n = 3$. Кроме того,
$\frac{\cos^n x - \sin^n x}{\cos^{n-1} x - \sin^{n-1} x} \leq \frac{\cos^k x - \sin^k x}{\cos^{k-1} x - \sin^{k-1} x}$
при $n \geq k > 1$. Действительно, приведя к общему знаменателю, получаем неравенство
$\sin^{k-1} x \cos^{k-1} x(\cos^{n-k} x - \sin^{n-k} x)(\cos x - \sin x) \geq 0$,
которое очевидно. Поэтому неравенство сводится к случаям $n = 3, m = 1$ и $n = 2, m = 1$. Докаxем их:
$\cos^3 x - \sin^3 x = (\cos x - \sin x)(l + \sin x \cos x) \leq \frac{3}{2}(\cos x - \sin x),$
поскольку $\cos x \sin x = \frac{1}{2} \sin 2x \leq \frac{1}{2}$;
$\cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x) (\cos x + \sin x) \leq \frac{3}{2} (\cos x - \sin x),$
ибо $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left (x + \frac{\pi}{4} \right ) \leq \frac{3}{2}$.
Второе решение. Опять же, неравенство достаточно доказать для $0 < x < \frac{\pi}{4}$. Рассмотрим $f(y) = cos^y x - sin^y x,$ где $0 < x < \frac{\pi}{4}, y \geq 0$. Имеем: $f(0) = 0, f(y) > 0$ при $y > 0, f(y) > 0$ при $y \rightarrow \infty$. Далее,
$f^{\prime}(y) = \cos^y x ln \cos x - \sin^y ln \sin x = \cos^y x(ln \cos x - tg^y x ln \sin x)$,
поэтому $f^{\prime}(y)$ имеет единственный корень при $y > 0$, так как функция $g(y) = tg^y x$ монотонна. Из $f(2) = f(2)(\cos^2 x + \sin^2 x) = f(4)$ следует, что $f^{\prime}(2) > 0, f^{\prime}(4) < 0$. Отсюда, при $n > m \geq 3$ получаем неравенство
$|\sin^n x - \cos^n x| \geq |sin^m x - cos^m x|$.
Если же $m \leq 2$, то из соотношений $f(1) \leq f(2) \leq f(3) \geq f(n)$ при $n > 3$ видно, что достаточно доказать неравенство $3f(1) \geq 2f(3)$, которое следует из $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2} \leq \frac{1}{2}$, поскольку $f(3) = f(1)(1 + \sin x \cos x) \leq \frac{3}{2}f(1)$.
