Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1982
2019-01-22 
На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т. е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.
Решение:
Первое решение. Рассмотрим любые 3 точки $A, B$ и $C$, не лежащие на одной прямой (если все точки будут лежать на одной прямой, то утверждение задачи очевидно). Пусть $T_1$ - система координат, в которой эти точки имеют целые координаты. Рассмотрим любую из оставшихся точек, назовем ее $D$. Пусть $T_2$ - система координат, в которой точки $B, C, D$ имеют целые координаты. Поскольку квадрат длины отрезка $BC$ в $T_1$ и $T_2$ будет целым, то отношение квадратов единиц измерения $T_1$ и $T_2$ - рациональное число. Но скалярное произведение векторов ($BC, BD$) в $T_2$ - целое, значит, в $T_1$ оно рационально, поскольку произведение длин этих векторов в $T_1$ будет рационально относиться к произведению их длин в $T_2$, а косинус угла не изменится. Аналогично, ($ \vec{BA}, \vec{BD}$) рационально. Пусть $\vec{BC}$ в $T_1$ - это ($x, y$), $\vec{BA}$ - это ($z, t$), $\vec{BD}$ - это ($p, q$). Тогда $px + qy = m$ и $pz + qt = n$ - рациональны, откуда $p = \frac{mt - ny}{xt - yz}, q = \frac{nx - mz}{xt - yz}$ - рациональные числа (поскольку $xt - yz \neq 0$, так как $A, B, C$ не лежали на одной прямой). Следовательно, точка $D$ в $T_1$ имеет рациональные координаты. Тогда, выбрав другую единицу измерения, можно координаты всех точек сделать целыми.
Второе решение. Как и в первом решении, можно считать, что в нашем множестве найдутся точки $A, B, C$, не лежащие на одной прямой. Докажем, что $tg \angle BAC$ - либо рациональное число, либо не существует. Рассмотрим координаты этих точек в системе, соответствующей тройке $A, B, C$. Если $x_A = x_B$ (случай $x_A = x_C$ аналогичен), то $tg \angle BAC = \pm \frac{x_C - x_A}{y_C - y_A}$ рационален (или не существует). Если же $x_B \neq x_А$ и $x_С \neq x_А$, то числа $p = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ и $q = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A}$ рациональны. Но $p = tg \alpha, q = tg \beta,$ где $\alpha$ и $\beta$ - углы, образуемые лучами $AB$ и $AC$ с положительным направлением оси $Ox$, поэтому из формулы $tg \angle CAB = tg(\beta - \alpha) = \frac{p-q}{1+ pq}$ следует рациональность $tg \angle BAC$ (или тангенс не существует, если $pq = -1$). Аналогично, рациональными являются тангенсы углов всех треугольников с вершинами в данных точках. Рассмотрим систему координат с центром $A$ и единичным вектором по оси $A_x$, равным $\vec{AB}$. Для любой точки $D$ нашего множества $tg \angle DAB$ и $tg \angle DBA$ рациональны, поэтому уравнения прямых $AD$ и $BD$ имеют рациональные коэффициенты. Тогда и точка $D$ имеет рациональные координаты. Изменив масштаб, мы получим целочисленные координаты у всех точек.
На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т. е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.
Решение:
Первое решение. Рассмотрим любые 3 точки $A, B$ и $C$, не лежащие на одной прямой (если все точки будут лежать на одной прямой, то утверждение задачи очевидно). Пусть $T_1$ - система координат, в которой эти точки имеют целые координаты. Рассмотрим любую из оставшихся точек, назовем ее $D$. Пусть $T_2$ - система координат, в которой точки $B, C, D$ имеют целые координаты. Поскольку квадрат длины отрезка $BC$ в $T_1$ и $T_2$ будет целым, то отношение квадратов единиц измерения $T_1$ и $T_2$ - рациональное число. Но скалярное произведение векторов ($BC, BD$) в $T_2$ - целое, значит, в $T_1$ оно рационально, поскольку произведение длин этих векторов в $T_1$ будет рационально относиться к произведению их длин в $T_2$, а косинус угла не изменится. Аналогично, ($ \vec{BA}, \vec{BD}$) рационально. Пусть $\vec{BC}$ в $T_1$ - это ($x, y$), $\vec{BA}$ - это ($z, t$), $\vec{BD}$ - это ($p, q$). Тогда $px + qy = m$ и $pz + qt = n$ - рациональны, откуда $p = \frac{mt - ny}{xt - yz}, q = \frac{nx - mz}{xt - yz}$ - рациональные числа (поскольку $xt - yz \neq 0$, так как $A, B, C$ не лежали на одной прямой). Следовательно, точка $D$ в $T_1$ имеет рациональные координаты. Тогда, выбрав другую единицу измерения, можно координаты всех точек сделать целыми.
Второе решение. Как и в первом решении, можно считать, что в нашем множестве найдутся точки $A, B, C$, не лежащие на одной прямой. Докажем, что $tg \angle BAC$ - либо рациональное число, либо не существует. Рассмотрим координаты этих точек в системе, соответствующей тройке $A, B, C$. Если $x_A = x_B$ (случай $x_A = x_C$ аналогичен), то $tg \angle BAC = \pm \frac{x_C - x_A}{y_C - y_A}$ рационален (или не существует). Если же $x_B \neq x_А$ и $x_С \neq x_А$, то числа $p = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ и $q = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A}$ рациональны. Но $p = tg \alpha, q = tg \beta,$ где $\alpha$ и $\beta$ - углы, образуемые лучами $AB$ и $AC$ с положительным направлением оси $Ox$, поэтому из формулы $tg \angle CAB = tg(\beta - \alpha) = \frac{p-q}{1+ pq}$ следует рациональность $tg \angle BAC$ (или тангенс не существует, если $pq = -1$). Аналогично, рациональными являются тангенсы углов всех треугольников с вершинами в данных точках. Рассмотрим систему координат с центром $A$ и единичным вектором по оси $A_x$, равным $\vec{AB}$. Для любой точки $D$ нашего множества $tg \angle DAB$ и $tg \angle DBA$ рациональны, поэтому уравнения прямых $AD$ и $BD$ имеют рациональные коэффициенты. Тогда и точка $D$ имеет рациональные координаты. Изменив масштаб, мы получим целочисленные координаты у всех точек.
