Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1981
2019-01-22 
На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через любую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.
Решение:
Предположим противное. Заметим, что через любую точку пересечения двух прямых проходит красная прямая. Рассмотрим синюю прямую $l$; пусть $A, B$ - две наиболее удаленные друг от друга точки пересечения $l$ с красными прямыми, $m$ и $n$ - красные прямые, проходящие через $A$ и $B; C$ - точка пересечения $m$ и $n$. Тогда через $C$ проходит синяя прямая $p$, которая пересекает $l$ в какой-то точке $D$ отрезка $AB$, иначе $A$ и $B$ - не наиболее удаленные (см. рис.).
Рассмотрим все четверки прямых $l^{\prime}, m^{\prime}, n^{\prime}, p^{\prime}$, расположенных как $l, m, n, p (l^{\prime}, p^{\prime}$ - одного цвета; $m^{\prime}, n^{\prime}$ - другого; $m^{\prime}, n^{\prime}, p^{\prime}$ пересекаются в одной точке; точка пересечения $p^{\prime}$ и $l^{\prime}$ лежит между точками пересечения $l^{\prime}$ с $m^{\prime}$ и $n^{\prime}$), и рассмотрим среди них такую, в которой прямые $l^{\prime}, m^{\prime}, n^{\prime}$ образуют треугольник наименьшей площади (см. рис.). Тогда через точку $D^{\prime}$ проходит прямая $q^{\prime}$, одноцветная с $m^{\prime}$. Она пересекает либо отрезок $B^{\prime}C^{\prime}$, либо $A^{\prime}C^{\prime}$ (пусть, для определенности, $B^{\prime}C^{\prime}$). Тогда прямые $n^{\prime}, l^{\prime}, p^{\prime}, q^{\prime}$ образуют конфигурацию с треугольником меньшей площади. Противоречие.
Замечание. Найти хотя бы одну пару прямых $l, m, n, p$ можно бы было и по-другому: взять какую-нибудь четверку прямых $l, m, n, p$ нужных цветов (так, чтобы $m, n, р$ пересекались в одной точке) и проективным преобразованием добиться того, чтобы точка $D$ пересечения $p$ и $l$ лежала между $A$ и $B$.
На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через любую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.
Решение:
Предположим противное. Заметим, что через любую точку пересечения двух прямых проходит красная прямая. Рассмотрим синюю прямую $l$; пусть $A, B$ - две наиболее удаленные друг от друга точки пересечения $l$ с красными прямыми, $m$ и $n$ - красные прямые, проходящие через $A$ и $B; C$ - точка пересечения $m$ и $n$. Тогда через $C$ проходит синяя прямая $p$, которая пересекает $l$ в какой-то точке $D$ отрезка $AB$, иначе $A$ и $B$ - не наиболее удаленные (см. рис.).
Рассмотрим все четверки прямых $l^{\prime}, m^{\prime}, n^{\prime}, p^{\prime}$, расположенных как $l, m, n, p (l^{\prime}, p^{\prime}$ - одного цвета; $m^{\prime}, n^{\prime}$ - другого; $m^{\prime}, n^{\prime}, p^{\prime}$ пересекаются в одной точке; точка пересечения $p^{\prime}$ и $l^{\prime}$ лежит между точками пересечения $l^{\prime}$ с $m^{\prime}$ и $n^{\prime}$), и рассмотрим среди них такую, в которой прямые $l^{\prime}, m^{\prime}, n^{\prime}$ образуют треугольник наименьшей площади (см. рис.). Тогда через точку $D^{\prime}$ проходит прямая $q^{\prime}$, одноцветная с $m^{\prime}$. Она пересекает либо отрезок $B^{\prime}C^{\prime}$, либо $A^{\prime}C^{\prime}$ (пусть, для определенности, $B^{\prime}C^{\prime}$). Тогда прямые $n^{\prime}, l^{\prime}, p^{\prime}, q^{\prime}$ образуют конфигурацию с треугольником меньшей площади. Противоречие.
Замечание. Найти хотя бы одну пару прямых $l, m, n, p$ можно бы было и по-другому: взять какую-нибудь четверку прямых $l, m, n, p$ нужных цветов (так, чтобы $m, n, р$ пересекались в одной точке) и проективным преобразованием добиться того, чтобы точка $D$ пересечения $p$ и $l$ лежала между $A$ и $B$.
