Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 198
2014-06-07 
На стороне ВС треугольника AВС взята точка Р, для которой РС = 2ВР. Найти $\angle ACB$, если $\angle ABC = 45^{\circ}, \angle APC = 60^{\circ}$.
Решение:
Если точка $C_{1}$ симметрична точке С относительно прямой АР (рис.), то $C_{1}P = CP = 2BP$ и $\angle C_{1}PB = 180^{\circ} - \angle APC - \angle APC_{1} = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ}= 60^{\circ}$. Поэтому $\angle C_{1}BP = 90^{\circ}$ (ибо треугольник $C_{1}PB$ подобен прямоугольному треугольнику с гипотенузой 2 и катетом 1), а значит, ВА - биссектриса угла $C_{1}BP$. Таким образом, точка А, равноудаленная от прямых $C_{1}P, PC, C_{1}B$, лежит на биссектрисе угла $PC_{1}D$ (где точка D лежит на продолжении отрезка $BC_{1}$ за точку $C_{1}$). Поэтому
$\angle ACB = \angle AC_{1}P = \frac{1}{2} (180^{\circ} - \angle BC_{1}P) \frac{1}{2}(180^{\circ} – 30^{\circ} ) = 75^{\circ} $.
На стороне ВС треугольника AВС взята точка Р, для которой РС = 2ВР. Найти $\angle ACB$, если $\angle ABC = 45^{\circ}, \angle APC = 60^{\circ}$.
Решение:
Если точка $C_{1}$ симметрична точке С относительно прямой АР (рис.), то $C_{1}P = CP = 2BP$ и $\angle C_{1}PB = 180^{\circ} - \angle APC - \angle APC_{1} = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ}= 60^{\circ}$. Поэтому $\angle C_{1}BP = 90^{\circ}$ (ибо треугольник $C_{1}PB$ подобен прямоугольному треугольнику с гипотенузой 2 и катетом 1), а значит, ВА - биссектриса угла $C_{1}BP$. Таким образом, точка А, равноудаленная от прямых $C_{1}P, PC, C_{1}B$, лежит на биссектрисе угла $PC_{1}D$ (где точка D лежит на продолжении отрезка $BC_{1}$ за точку $C_{1}$). Поэтому
$\angle ACB = \angle AC_{1}P = \frac{1}{2} (180^{\circ} - \angle BC_{1}P) \frac{1}{2}(180^{\circ} – 30^{\circ} ) = 75^{\circ} $.
