Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1979
2019-01-22 
Сумма положительных чисел $а, b, c$ равна 3. Докажите, что $ \sqrt {a}+ \sqrt {b}+ \sqrt {c} \geq ab+bc+ac$.
Решение:
Рассмотрим равенство $(а + b + c)^2 = 9$. Тогда
$ab + bc + ca = \frac{9 - a^2 - b^2 - c^2}{2}$.
Следовательно, нужно доказать, что
$2 \sqrt{a} + 2 \sqrt{b} + 2 \sqrt{с} + a^2 + b^2 + с^2 \geq 9$.
Для этого заметим, что $2 \sqrt{a} + a^2 \geq Зa$. Действительно, согласно неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим, $2 \sqrt{a} + a^2 = \sqrt{a} + \sqrt{a} + a^2 \geq 3 \sqrt[3]{a^3} = 3a$. Тогда $2 \sqrt{a} + 2\sqrt{b} + 2\sqrt{a} + a^2 + b^2 + c^2 \geq 3(a + b + с) = 9$.
Сумма положительных чисел $а, b, c$ равна 3. Докажите, что $ \sqrt {a}+ \sqrt {b}+ \sqrt {c} \geq ab+bc+ac$.
Решение:
Рассмотрим равенство $(а + b + c)^2 = 9$. Тогда
$ab + bc + ca = \frac{9 - a^2 - b^2 - c^2}{2}$.
Следовательно, нужно доказать, что
$2 \sqrt{a} + 2 \sqrt{b} + 2 \sqrt{с} + a^2 + b^2 + с^2 \geq 9$.
Для этого заметим, что $2 \sqrt{a} + a^2 \geq Зa$. Действительно, согласно неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим, $2 \sqrt{a} + a^2 = \sqrt{a} + \sqrt{a} + a^2 \geq 3 \sqrt[3]{a^3} = 3a$. Тогда $2 \sqrt{a} + 2\sqrt{b} + 2\sqrt{a} + a^2 + b^2 + c^2 \geq 3(a + b + с) = 9$.
