Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1977
2019-01-22 
Докажите, что для любого натурального числа $n > 10000$ найдется такое натуральное число $m$, представимое в виде суммы двух квадратов, что $0 < m - n < 3 \sqrt[4]{n}$.
Решение:
Пусть $x$ - наибольшее целое число, квадрат которого не превосходит $n: x^2 \leq n < (x+1)^2$. Так как $n$ - целое, $n - x^2 \leq 2x \leq 2 \sqrt{n}$. Пусть, далее, $у$ - наименьшее натуральное число, квадрат которого больше $n - x^2$: $(у - 1)^2 \leq n-x^2 < у^2$. Тогда $у = (у -1) + 1 \leq \sqrt{n - x^2} + 1 \leq \sqrt{2 \sqrt{n}} + 1 = \sqrt{2}\sqrt[4]{n} + 1$. Ясно, что $m = x^2 + у^2 > n$, т. е. $m$ представимо в виде суммы двух квадратов и $m - n > 0$.
С другой стороны,
$m - n = х^2 + у^2 - n = у^2 - (n - х^2) \leq у^2 - (у - 1)^2 = 2у - 1 \leq 2 \sqrt{2}\sqrt[4]{n} + 1$.
Осталось заметить, что при $n > 10000$
$2 \sqrt{2} \sqrt[4]{n} + 1 < 3 \sqrt[4]{n}$.
Докажите, что для любого натурального числа $n > 10000$ найдется такое натуральное число $m$, представимое в виде суммы двух квадратов, что $0 < m - n < 3 \sqrt[4]{n}$.
Решение:
Пусть $x$ - наибольшее целое число, квадрат которого не превосходит $n: x^2 \leq n < (x+1)^2$. Так как $n$ - целое, $n - x^2 \leq 2x \leq 2 \sqrt{n}$. Пусть, далее, $у$ - наименьшее натуральное число, квадрат которого больше $n - x^2$: $(у - 1)^2 \leq n-x^2 < у^2$. Тогда $у = (у -1) + 1 \leq \sqrt{n - x^2} + 1 \leq \sqrt{2 \sqrt{n}} + 1 = \sqrt{2}\sqrt[4]{n} + 1$. Ясно, что $m = x^2 + у^2 > n$, т. е. $m$ представимо в виде суммы двух квадратов и $m - n > 0$.
С другой стороны,
$m - n = х^2 + у^2 - n = у^2 - (n - х^2) \leq у^2 - (у - 1)^2 = 2у - 1 \leq 2 \sqrt{2}\sqrt[4]{n} + 1$.
Осталось заметить, что при $n > 10000$
$2 \sqrt{2} \sqrt[4]{n} + 1 < 3 \sqrt[4]{n}$.
