Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1973
2019-01-22 
Пусть $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$. На сторонах $AB$ и $BC$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно таким образом, что $2 \angle MON = \angle AOC$. Докажите, что периметр треугольника $MBN$ не меньше стороны $AC$.
Решение:
Построим такие точки $K$ и $L$, лежащие внутри угла $AOC$, что треугольники $AKO$ и $BMO$, а также $CLO$ и $BNO$ соответственно равны (см. рис.). Тогда $KO = OM, LO = ON$ и $\angle KOL = \angle AOC - \angle MOB - \angle BON = \angle MON$, поэтому треугольники $KOL$ и $MON$ равны, следовательно, $KL = MN$. Тогда периметр треугольника $BMN$ равен $BM + MN + NB = AK + KL + LC \geq AC$.
В других исходных конфигурациях задачи решение проходит аналогично, но треугольники, возможно, нужно откладывать в другую сторону (см. рисунки).
Пусть $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$. На сторонах $AB$ и $BC$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно таким образом, что $2 \angle MON = \angle AOC$. Докажите, что периметр треугольника $MBN$ не меньше стороны $AC$.
Решение:
Построим такие точки $K$ и $L$, лежащие внутри угла $AOC$, что треугольники $AKO$ и $BMO$, а также $CLO$ и $BNO$ соответственно равны (см. рис.). Тогда $KO = OM, LO = ON$ и $\angle KOL = \angle AOC - \angle MOB - \angle BON = \angle MON$, поэтому треугольники $KOL$ и $MON$ равны, следовательно, $KL = MN$. Тогда периметр треугольника $BMN$ равен $BM + MN + NB = AK + KL + LC \geq AC$.
В других исходных конфигурациях задачи решение проходит аналогично, но треугольники, возможно, нужно откладывать в другую сторону (см. рисунки).
