Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 197
2014-06-07 
На сторонах ВС и АС треугольника ABC выбраны точки D и Е соответственно так, что $\angle BAD = 50^{\circ}, \angle ABE = 30^{\circ}$. Найти $\angle BED$, если $\angle ABC = \angle ACB = 50^{\circ}$.
Решение:
Пусть О - точка пересечения прямых AD и BE (рис.), тогда
$\angle AOB = 180^{\circ} – 30^{\circ} – 50^{\circ} = 100^{\circ}$,
$\angle BDA = 180^{\circ} – 50^{\circ} -50^{\circ} = 80^{\circ}$,
$\angle CBE = 50^{\circ} – 30^{\circ} = 20^{\circ}$,
$\angle AEB = \angle CBE + \angle ECB =70^{\circ}$
$\angle CAD = 180^{\circ} - \angle ACB - \angle ABC - \angle BAD = 30^{\circ}$
По теореме синусов имеем
$\frac{OD}{OB}= \frac{\sin 20^{\circ}}{ \sin 80^{\circ}}, \frac{OB}{OA}= \frac{\sin 50^{\circ}}{ \sin 30^{\circ}}, \frac{OA}{OE}= \frac{\sin 70^{\circ}}{ \sin 30^{\circ}}$
откуда получаем
$\frac{OD}{OE} = \frac{OD}{OB} \cdot \frac{OB}{OA} \cdot \frac{OA}{OE} = \frac{\sin 20^{\circ}\sin 50^{\circ}\sin 70^{\circ}}{\sin 80^{\circ}\sin^{2} 30^{\circ}} =$
$= \frac{4 \sin 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 20^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} = \frac{2 \sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} = \frac{\sin 80^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} = 1$,
т. e. OD = OE и
$\angle BED = \angle ODE = \frac{1}{2} (180^{\circ} - \angle EOD) = \frac{1}{2} (180^{\circ} – 100^{\circ}) = 40^{\circ}$
На сторонах ВС и АС треугольника ABC выбраны точки D и Е соответственно так, что $\angle BAD = 50^{\circ}, \angle ABE = 30^{\circ}$. Найти $\angle BED$, если $\angle ABC = \angle ACB = 50^{\circ}$.
Решение:
Пусть О - точка пересечения прямых AD и BE (рис.), тогда
$\angle AOB = 180^{\circ} – 30^{\circ} – 50^{\circ} = 100^{\circ}$,
$\angle BDA = 180^{\circ} – 50^{\circ} -50^{\circ} = 80^{\circ}$,
$\angle CBE = 50^{\circ} – 30^{\circ} = 20^{\circ}$,
$\angle AEB = \angle CBE + \angle ECB =70^{\circ}$
$\angle CAD = 180^{\circ} - \angle ACB - \angle ABC - \angle BAD = 30^{\circ}$
По теореме синусов имеем
$\frac{OD}{OB}= \frac{\sin 20^{\circ}}{ \sin 80^{\circ}}, \frac{OB}{OA}= \frac{\sin 50^{\circ}}{ \sin 30^{\circ}}, \frac{OA}{OE}= \frac{\sin 70^{\circ}}{ \sin 30^{\circ}}$
откуда получаем
$\frac{OD}{OE} = \frac{OD}{OB} \cdot \frac{OB}{OA} \cdot \frac{OA}{OE} = \frac{\sin 20^{\circ}\sin 50^{\circ}\sin 70^{\circ}}{\sin 80^{\circ}\sin^{2} 30^{\circ}} =$
$= \frac{4 \sin 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 20^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} = \frac{2 \sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} = \frac{\sin 80^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} = 1$,
т. e. OD = OE и
$\angle BED = \angle ODE = \frac{1}{2} (180^{\circ} - \angle EOD) = \frac{1}{2} (180^{\circ} – 100^{\circ}) = 40^{\circ}$
