Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1969
2019-01-22 
На плоскости отмечено 6 красных, 6 синих и 6 зеленых точек, причем никакие три из отмеченных точек не лежат на одной прямой. Докажите, что сумма площадей треугольников с вершинами одного цвета составляет не более четверти суммы площадей всех треугольников с отмеченными вершинами.
Решение:
Рассмотрим три синих точки $A, B, C$ и не синюю $D$. Тогда $S_{ABC} \leq S_{ABD} + S_{ACD} + S_{BCD}$. Просуммируем это неравенство по всем таким четверкам. При этом каждый синий треугольник считается 12 раз, а каждый «сине-сине-несиний» - 4 раза. Таким образом, сумма площадей синих треугольников хотя бы в 3 раза меньше суммы площадей «сине-сине-несиних». Итого: сумма площадей «синих» треугольников составляет не более четверти сумм площадей треугольников, хотя бы две вершины которых - синие. Аналогичное неравенство получим для двух других цветов. Так как рассмотренные группы не пересекаются, то и сумма площадей одноцветных треугольников составляет не более четверти суммы площадей всех треугольников.
На плоскости отмечено 6 красных, 6 синих и 6 зеленых точек, причем никакие три из отмеченных точек не лежат на одной прямой. Докажите, что сумма площадей треугольников с вершинами одного цвета составляет не более четверти суммы площадей всех треугольников с отмеченными вершинами.
Решение:
Рассмотрим три синих точки $A, B, C$ и не синюю $D$. Тогда $S_{ABC} \leq S_{ABD} + S_{ACD} + S_{BCD}$. Просуммируем это неравенство по всем таким четверкам. При этом каждый синий треугольник считается 12 раз, а каждый «сине-сине-несиний» - 4 раза. Таким образом, сумма площадей синих треугольников хотя бы в 3 раза меньше суммы площадей «сине-сине-несиних». Итого: сумма площадей «синих» треугольников составляет не более четверти сумм площадей треугольников, хотя бы две вершины которых - синие. Аналогичное неравенство получим для двух других цветов. Так как рассмотренные группы не пересекаются, то и сумма площадей одноцветных треугольников составляет не более четверти суммы площадей всех треугольников.
