Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1968
2019-01-22 
На одной стороне угла с вершиной $O$ взята точка $A$, а на другой - точки $B$ и $C$ так, что $B$ лежит между $O$ и $C$. Проведена окружность с центром $O_1$, вписанная в треугольник $OAB$, и окружность с центром $O_2$, касающаяся стороны $AC$ и продолжений сторон $OA, OC$ треугольника $OAC$. Докажите, что если $O_1A = O_2A$, то треугольник $ABC$ - равнобедренный.
Решение:
$\angle AO_1O_2$ - внешний для треугольника $OAO_1$. Поэтому $\angle AO_1O_2 = \angle AOO_1 + \angle OAO_1 = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle ABC$.
Далее, пусть $M$ - некоторая точка на продолжении отрезка $OA$ за точку $A$. $\angle MAO_2$ - внешний для треугольника $OAO_2$.
Отсюда $\angle AO_2O_1 = \angle MAO_2 - \angle A00_2 = \frac{1}{2} \angle MAC - \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \angle ACO$.
Таким образом, из равенства $O_1A = O_2A$ следует равенство углов $AO_1O_2$ и $AO_2O_1$, а значит, и углов $ABC$ и $ACB$.
Тем самым, треугольник $ABC$ - равнобедренный, $AB = AC$.
На одной стороне угла с вершиной $O$ взята точка $A$, а на другой - точки $B$ и $C$ так, что $B$ лежит между $O$ и $C$. Проведена окружность с центром $O_1$, вписанная в треугольник $OAB$, и окружность с центром $O_2$, касающаяся стороны $AC$ и продолжений сторон $OA, OC$ треугольника $OAC$. Докажите, что если $O_1A = O_2A$, то треугольник $ABC$ - равнобедренный.
Решение:
$\angle AO_1O_2$ - внешний для треугольника $OAO_1$. Поэтому $\angle AO_1O_2 = \angle AOO_1 + \angle OAO_1 = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle ABC$.
Далее, пусть $M$ - некоторая точка на продолжении отрезка $OA$ за точку $A$. $\angle MAO_2$ - внешний для треугольника $OAO_2$.
Отсюда $\angle AO_2O_1 = \angle MAO_2 - \angle A00_2 = \frac{1}{2} \angle MAC - \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \angle ACO$.
Таким образом, из равенства $O_1A = O_2A$ следует равенство углов $AO_1O_2$ и $AO_2O_1$, а значит, и углов $ABC$ и $ACB$.
Тем самым, треугольник $ABC$ - равнобедренный, $AB = AC$.
