Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1964
2019-01-22 
$a$ и $b$ - различные натуральные числа такие, что $ab(a + b)$ делится на $a^2 + ab + b^2$. Докажите, что $|a - b| > \sqrt [3]{ab}$.
Решение:
Пусть $d$ - наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$, т. е. $a = da_1, b = db_1$, где $a_1$ и $b_1$ взаимно просты. Тогда $da_1b_1(a_1 + b_1)$ делится на $a_1 + a_1b_1 + b_2 = m$. Число $a_1 + b_1$ взаимно просто с числами $a_1$ и $b_1$ (в противном случае $a_1$ и $b_1$ имеют общий делитель), поэтому из равенств $m = a_1(a_1 + b_1) + b_2 = b_1(a_1 + b_1) + a_1$ следует, что $m$ взаимно просто с числами $a_1, b_1$ и $a_1 + b_1$, поэтому $d$ делится на то. Но тогда $d \geq m > a_1b_1$, следовательно $d^3 > ab$. Поэтому $|a - b| \geq d > \sqrt[3]{ab}$, что и требовалось доказать.
$a$ и $b$ - различные натуральные числа такие, что $ab(a + b)$ делится на $a^2 + ab + b^2$. Докажите, что $|a - b| > \sqrt [3]{ab}$.
Решение:
Пусть $d$ - наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$, т. е. $a = da_1, b = db_1$, где $a_1$ и $b_1$ взаимно просты. Тогда $da_1b_1(a_1 + b_1)$ делится на $a_1 + a_1b_1 + b_2 = m$. Число $a_1 + b_1$ взаимно просто с числами $a_1$ и $b_1$ (в противном случае $a_1$ и $b_1$ имеют общий делитель), поэтому из равенств $m = a_1(a_1 + b_1) + b_2 = b_1(a_1 + b_1) + a_1$ следует, что $m$ взаимно просто с числами $a_1, b_1$ и $a_1 + b_1$, поэтому $d$ делится на то. Но тогда $d \geq m > a_1b_1$, следовательно $d^3 > ab$. Поэтому $|a - b| \geq d > \sqrt[3]{ab}$, что и требовалось доказать.
