Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1961
2019-01-22 
На плоскости даны два таких конечных набора $P_1$ и $P_2$ выпуклых многоугольников, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку и в каждом из двух наборов $P_1$ и $P_2$ есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.
Решение:
Для каждой из прямых, пересекающих все многоугольники набора $P_1$, проведем параллельную ей прямую через центр $O$ некоторой окружности $S$. Обозначим через $S_1$ множество точек пересечения этих прямых с $S$. Определим аналогично для набора $P_2$ множество $S_2$ с $S$.
Покажем, что $S_1 \cup S_2 = S$. Спроектируем многоугольники наборов $P_1$ и $P_2$ на произвольную прямую $l$ (см. рис.). Из условия следует, что при этом получатся два набора отрезков $P_1^{\prime}$ и $P_2^{\prime}$ таких, что любые два отрезка из разных наборов имеют общую точку.
Возьмем отрезок $I$, левый конец $А$ которого является среди полученных отрезков самым правым. Пусть, например, $I$ принадлежит $P_1^{\prime}$, тогда все отрезки $P_2^{\prime}$ содержат точку $А$. Следовательно, прямая $m$, проходящая через точку $A$ перпендикулярно $I$, пересекает все многоугольники набора $P_2$. В силу произвольности выбора прямой $l$ получаем, что $S_1 \cup S_2 = S$.
Очевидно, все отрезки в $P_1^{\prime}$ имеют общую точку и все отрезки в $P_2^{\prime}$ имеют общую точку тогда и только тогда, когда точки окружности $S$, имеющие направление $m$, принадлежат как $S_1$, так и $S_2$.
Но если все отрезки из $P_1^{\prime}$ имеют общую точку и все отрезки из $P_2^{\prime}$ имеют общую точку, то любые два отрезка из $P_1^{\prime} \cup P_2^{\prime}$ имеют общую точку. Тогда все отрезки из $P_1^{\prime} \cup P_2^{\prime}$ имеют общую точку.
Следовательно, прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно $l$, пересекает все многоугольники наборов $P_1$ и $P_2$. Таким образом, утверждение задачи доказано, если $S_1 \cup S_2 \neq \varnothing$.
Покажем, что $S_1 \cap S_2 \neq \varnothing$. В самом деле, легко видеть, что множества $S_1$ и $S_2$ состоят из конечного числа замкнутых дуг окружности (например, если число элементов в $P_1$ не больше $n$, то дуг не больше $2C_n^2$, так как конец каждой дуги соответствует непересекающимся многоугольникам; см. рис.). Так как в каждом множестве есть пара непересекающихся многоугольников, то, отделяя эти многоугольники прямой, мы видим, что $S_1 = S$ и $S_2 = S$.
Если $S_1 \cup S_2 = \varnothing$, то $S_1 \cup S_2$ состоит из попарно непересекающихся замкнутых дуг. Возьмем конец одной дуги, тогда между ним и ближайшим концом дуги по часовой стрелке нет точек $S_1 \cup S_2$, что противоречит тому, что $S_1 \cup S_2 = S$.
На плоскости даны два таких конечных набора $P_1$ и $P_2$ выпуклых многоугольников, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку и в каждом из двух наборов $P_1$ и $P_2$ есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.
Решение:
Для каждой из прямых, пересекающих все многоугольники набора $P_1$, проведем параллельную ей прямую через центр $O$ некоторой окружности $S$. Обозначим через $S_1$ множество точек пересечения этих прямых с $S$. Определим аналогично для набора $P_2$ множество $S_2$ с $S$.
Покажем, что $S_1 \cup S_2 = S$. Спроектируем многоугольники наборов $P_1$ и $P_2$ на произвольную прямую $l$ (см. рис.). Из условия следует, что при этом получатся два набора отрезков $P_1^{\prime}$ и $P_2^{\prime}$ таких, что любые два отрезка из разных наборов имеют общую точку.
Возьмем отрезок $I$, левый конец $А$ которого является среди полученных отрезков самым правым. Пусть, например, $I$ принадлежит $P_1^{\prime}$, тогда все отрезки $P_2^{\prime}$ содержат точку $А$. Следовательно, прямая $m$, проходящая через точку $A$ перпендикулярно $I$, пересекает все многоугольники набора $P_2$. В силу произвольности выбора прямой $l$ получаем, что $S_1 \cup S_2 = S$.
Очевидно, все отрезки в $P_1^{\prime}$ имеют общую точку и все отрезки в $P_2^{\prime}$ имеют общую точку тогда и только тогда, когда точки окружности $S$, имеющие направление $m$, принадлежат как $S_1$, так и $S_2$.
Но если все отрезки из $P_1^{\prime}$ имеют общую точку и все отрезки из $P_2^{\prime}$ имеют общую точку, то любые два отрезка из $P_1^{\prime} \cup P_2^{\prime}$ имеют общую точку. Тогда все отрезки из $P_1^{\prime} \cup P_2^{\prime}$ имеют общую точку.
Следовательно, прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно $l$, пересекает все многоугольники наборов $P_1$ и $P_2$. Таким образом, утверждение задачи доказано, если $S_1 \cup S_2 \neq \varnothing$.
Покажем, что $S_1 \cap S_2 \neq \varnothing$. В самом деле, легко видеть, что множества $S_1$ и $S_2$ состоят из конечного числа замкнутых дуг окружности (например, если число элементов в $P_1$ не больше $n$, то дуг не больше $2C_n^2$, так как конец каждой дуги соответствует непересекающимся многоугольникам; см. рис.). Так как в каждом множестве есть пара непересекающихся многоугольников, то, отделяя эти многоугольники прямой, мы видим, что $S_1 = S$ и $S_2 = S$.
Если $S_1 \cup S_2 = \varnothing$, то $S_1 \cup S_2$ состоит из попарно непересекающихся замкнутых дуг. Возьмем конец одной дуги, тогда между ним и ближайшим концом дуги по часовой стрелке нет точек $S_1 \cup S_2$, что противоречит тому, что $S_1 \cup S_2 = S$.
