Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1960
2019-01-22 
Пусть $2S$ - суммарный вес некоторого набора гирек. Назовем натуральное число $k$ средним, если в наборе можно выбрать $k$ гирек, суммарный вес которых равен $S$. Какое наибольшее количество средних чисел может иметь набор из 100 гирек?
Решение:
Заметим, что если число $k = m$ является средним, то число $k = 100 - m$ также является средним. Поэтому если число $k = 1$ не является средним, то число $к = 99$ также не является средним и количество средних чисел не больше 97 ($к \neq 100$). Если же число $к = 1$ является средним, то вес одной из гирек равен $S$ и, следовательно, только $к = 99$ также является средним числом. Значит, количество средних чисел не превосходит 97.
Приведем пример набора из 100 гирек с весами $а_1,\cdots, а_{100}$ для которого все числа от 2 до 98 (всего 97 чисел) - средние. Пусть $a_1 = a_2 = 1, a_{n+2} = a_n + a_{n+1}, n = 1, 2,\cdots, 97$, - последовательные числа Фибоначчи и $S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{98}$. Выберем $a_{100} = S - a_{99}$. Тогда суммарный вес всех гирек равен $2S$ и, в то же время, $a_{100} + a_{99} = a_{100} + a_{98} + a_{97} = a_{100} + a_{98} + a_{96} + a_{95} = a_{100} + a_{98} + a_{96} + a_{94} + a_{93} = \cdots = a_{100} + a_{98} + a_{96} + a_{94} + a_{92} + a_{90} + \cdots + a_6 + a_4 + a_2 + a_1 = S$. Следовательно, средними являются числа $2, 3, 4, \cdots, 51$. Но тогда средними будут и числа $100 - 2 = 98, 100 - 3 = 97, \cdots, 100 - 48 = 52$, т. е. все числа от 2 до 98 - средние.
Ответ. 97 средних чисел.
Пусть $2S$ - суммарный вес некоторого набора гирек. Назовем натуральное число $k$ средним, если в наборе можно выбрать $k$ гирек, суммарный вес которых равен $S$. Какое наибольшее количество средних чисел может иметь набор из 100 гирек?
Решение:
Заметим, что если число $k = m$ является средним, то число $k = 100 - m$ также является средним. Поэтому если число $k = 1$ не является средним, то число $к = 99$ также не является средним и количество средних чисел не больше 97 ($к \neq 100$). Если же число $к = 1$ является средним, то вес одной из гирек равен $S$ и, следовательно, только $к = 99$ также является средним числом. Значит, количество средних чисел не превосходит 97.
Приведем пример набора из 100 гирек с весами $а_1,\cdots, а_{100}$ для которого все числа от 2 до 98 (всего 97 чисел) - средние. Пусть $a_1 = a_2 = 1, a_{n+2} = a_n + a_{n+1}, n = 1, 2,\cdots, 97$, - последовательные числа Фибоначчи и $S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{98}$. Выберем $a_{100} = S - a_{99}$. Тогда суммарный вес всех гирек равен $2S$ и, в то же время, $a_{100} + a_{99} = a_{100} + a_{98} + a_{97} = a_{100} + a_{98} + a_{96} + a_{95} = a_{100} + a_{98} + a_{96} + a_{94} + a_{93} = \cdots = a_{100} + a_{98} + a_{96} + a_{94} + a_{92} + a_{90} + \cdots + a_6 + a_4 + a_2 + a_1 = S$. Следовательно, средними являются числа $2, 3, 4, \cdots, 51$. Но тогда средними будут и числа $100 - 2 = 98, 100 - 3 = 97, \cdots, 100 - 48 = 52$, т. е. все числа от 2 до 98 - средние.
Ответ. 97 средних чисел.
