Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 196
2014-06-07 
Внутри треугольника ABC взята точка М, для которой $\angle MBA = 30^{\circ}, \angle MAB = 10^{\circ}$. Найти $\angle AMC$, если $\angle ACB = 80^{\circ}$ и АС = ВС.
Решение:
Пусть высота CH треугольника ABC пересекается с прямой ВМ в точке Е (рис.). Тогда АЕ = ВЕ и
$\angle EAM =\angle EAB - \angle MAB = 90^{\circ} – 10^{\circ} = 20^{\circ}$,
$\angle ACE = (1/2) \angle ACB = 40^{\circ}$,
$\angle EAC = \angle CAH - \angle EAB = (90^{\circ} - 40^{\circ}) – 30^{\circ} = 20^{\circ}$,
$\angle AME = \angle MAB + \angle MBA = 10^{\circ} + 30^{\circ} = 40^{\circ}$,
а значит, треугольники АМЕ и АСЕ равны по общей стороне и двум углам. Поэтому -
$AM=AC, \angle AMC = \angle ACM = (1/2) (180^{\circ} - \angle CAM) = 70^{\circ}$
Внутри треугольника ABC взята точка М, для которой $\angle MBA = 30^{\circ}, \angle MAB = 10^{\circ}$. Найти $\angle AMC$, если $\angle ACB = 80^{\circ}$ и АС = ВС.
Решение:
Пусть высота CH треугольника ABC пересекается с прямой ВМ в точке Е (рис.). Тогда АЕ = ВЕ и
$\angle EAM =\angle EAB - \angle MAB = 90^{\circ} – 10^{\circ} = 20^{\circ}$,
$\angle ACE = (1/2) \angle ACB = 40^{\circ}$,
$\angle EAC = \angle CAH - \angle EAB = (90^{\circ} - 40^{\circ}) – 30^{\circ} = 20^{\circ}$,
$\angle AME = \angle MAB + \angle MBA = 10^{\circ} + 30^{\circ} = 40^{\circ}$,
а значит, треугольники АМЕ и АСЕ равны по общей стороне и двум углам. Поэтому -
$AM=AC, \angle AMC = \angle ACM = (1/2) (180^{\circ} - \angle CAM) = 70^{\circ}$
