Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1959
2019-01-22 
Найдите все натуральные числа n такие, что для любых двух его взаимно простых делителей $a$ и $b$ число $a + b - 1$ также является делителем $n$.
Решение:
Легко видеть, что указанные в ответе числа удовлетворяют условию задачи. Покажем, что других чисел, удовлетворяющих условию, не существует.
Случай нечетного $n$ рассмотрен в задаче 1952. Пусть $n$ четно и не является степенью двойки; представим его в виде $n = 2^m \cdot k,$ где $m \geq 1$, а $k > 1$ - нечетное число. Заметим, что $k + 2 - 1 = k + 1$ - делитель $n$. Поскольку $\:НОД(k + 1, k) = 1, k + 1 = 2^{ \alpha}, \alpha > 1$. Поэтому $2^2 + k - 1 = k + 3$ - тоже делитель $n$. Заметим, что $k + 3 = (k + 1) + 2 = 2^{ \alpha} + 2$ не делится на $2^2$. Кроме того, $\:НОД(k + 3, k) = НОД(3, k) < 3$. Из этого заключаем, что $k + 3 \leq 2 \cdot 3 = 6$, и $k \leq 3$. Значит, $n = 2^m \cdot 3$. Но $m = 1$ не подходит; $m \geq 3$ также не подходит, так как в этом случае мы получили бы, что $2^3 + 3 - 1 = 10$ - также делитель $n$.
Ответ. $n = p^k, p$ - простое, или $n = 12$.
Найдите все натуральные числа n такие, что для любых двух его взаимно простых делителей $a$ и $b$ число $a + b - 1$ также является делителем $n$.
Решение:
Легко видеть, что указанные в ответе числа удовлетворяют условию задачи. Покажем, что других чисел, удовлетворяющих условию, не существует.
Случай нечетного $n$ рассмотрен в задаче 1952. Пусть $n$ четно и не является степенью двойки; представим его в виде $n = 2^m \cdot k,$ где $m \geq 1$, а $k > 1$ - нечетное число. Заметим, что $k + 2 - 1 = k + 1$ - делитель $n$. Поскольку $\:НОД(k + 1, k) = 1, k + 1 = 2^{ \alpha}, \alpha > 1$. Поэтому $2^2 + k - 1 = k + 3$ - тоже делитель $n$. Заметим, что $k + 3 = (k + 1) + 2 = 2^{ \alpha} + 2$ не делится на $2^2$. Кроме того, $\:НОД(k + 3, k) = НОД(3, k) < 3$. Из этого заключаем, что $k + 3 \leq 2 \cdot 3 = 6$, и $k \leq 3$. Значит, $n = 2^m \cdot 3$. Но $m = 1$ не подходит; $m \geq 3$ также не подходит, так как в этом случае мы получили бы, что $2^3 + 3 - 1 = 10$ - также делитель $n$.
Ответ. $n = p^k, p$ - простое, или $n = 12$.
