Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1958
2019-01-22 
На высотах (но не на продолжениях высот) остроугольного треугольника $ABC$ взяты точки $A_1, B_1, C_1$, отличные от точки пересечения высот $H$, такие, что сумма площадей треугольников $ABC_1, BCA_1, CAB_1$ равна площади треугольника $ABC$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $A_1B_1C_1$, проходит через $H$.
Решение:
Пусть окружность, проходящая через $H, А_1, В_1$, пересекает второй раз прямую $CH$ в точке $C_1^{\prime}$. Достаточно доказать, что $C_1^{\prime}$ совпадает с $C_1$.
Рассмотрим точку $F$, диаметрально противоположную точке $H$ (см. рис.). Углы $HA_1F, HB_1F$ и $HC_1F$ - прямые, так как опираются на диаметр. Поэтому $A_1F \parallel BC, B_1F \parallel AC, C_1F \parallel AB$. Отсюда следует равенство площадей $S_{BFC} = S_{BA_1C}$ (в треугольниках $BFC$ и $BA_1C$ основание общее, а высоты равны), аналогично $S_{CFA} = S_{CB_lA}$ и $S_{AFB} = S_{AC_1^{\prime}B}$.
Заметим, что точка $F$ лежит внутри треугольника $ABC$: поскольку $A_1$ и $B_1$ лежат на высотах, а не на их продолжениях, точка $F$ лежит внутри угла $ACB$; если бы при этом $F$ лежала вне треугольника $ABC$, то сумма площадей $S_{AFC} + S_{BFC} = S_{AB_lC} + S_{BA_lC}$ была бы больше площади $S$ треугольника $ABC$ в противоречие с условием; таком образом, $C_1$ лежит на высоте, а не на ее продолжении. Ввиду равенств $S = S_{AFB} + S_{BFC} + S_{CFA} = S_{AC_1B} + S_{BA_1C} + S_{CB_1A}$ получаем, что $S_{AC_1B} = S_{AC_1B}$,откуда следует совпадение точек $C_1$ и $C_1^{\prime}$.
На высотах (но не на продолжениях высот) остроугольного треугольника $ABC$ взяты точки $A_1, B_1, C_1$, отличные от точки пересечения высот $H$, такие, что сумма площадей треугольников $ABC_1, BCA_1, CAB_1$ равна площади треугольника $ABC$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $A_1B_1C_1$, проходит через $H$.
Решение:
Пусть окружность, проходящая через $H, А_1, В_1$, пересекает второй раз прямую $CH$ в точке $C_1^{\prime}$. Достаточно доказать, что $C_1^{\prime}$ совпадает с $C_1$.
Рассмотрим точку $F$, диаметрально противоположную точке $H$ (см. рис.). Углы $HA_1F, HB_1F$ и $HC_1F$ - прямые, так как опираются на диаметр. Поэтому $A_1F \parallel BC, B_1F \parallel AC, C_1F \parallel AB$. Отсюда следует равенство площадей $S_{BFC} = S_{BA_1C}$ (в треугольниках $BFC$ и $BA_1C$ основание общее, а высоты равны), аналогично $S_{CFA} = S_{CB_lA}$ и $S_{AFB} = S_{AC_1^{\prime}B}$.
Заметим, что точка $F$ лежит внутри треугольника $ABC$: поскольку $A_1$ и $B_1$ лежат на высотах, а не на их продолжениях, точка $F$ лежит внутри угла $ACB$; если бы при этом $F$ лежала вне треугольника $ABC$, то сумма площадей $S_{AFC} + S_{BFC} = S_{AB_lC} + S_{BA_lC}$ была бы больше площади $S$ треугольника $ABC$ в противоречие с условием; таком образом, $C_1$ лежит на высоте, а не на ее продолжении. Ввиду равенств $S = S_{AFB} + S_{BFC} + S_{CFA} = S_{AC_1B} + S_{BA_1C} + S_{CB_1A}$ получаем, что $S_{AC_1B} = S_{AC_1B}$,откуда следует совпадение точек $C_1$ и $C_1^{\prime}$.
