Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1956
2019-01-22 
Многочлен $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + с$ имеет три различных действительных корня, а многочлен $P(Q(x))$, где $Q(x) = x^2 + x + 2001$, действительных корней не имеет. Докажите, что $P(2001) > \frac {1}{64}$.
Решение:
По условию $P(x) = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$, следовательно, $P(Q(x)) = (Q(x) - x_1)(Q(x) - x_2)(Q(x) - x_3)$, где $Q(x) - x_i \neq 0, i = 1, 2, 3$, т.е. $D_i = 1 - 4(2001 - x_i) < 0$. Перемножив полученные неравенства $2001 - x_i > \frac{1}{4}$ получаем $P(2001) = (2001 - x_1)(2001 - x_2)(2001 - x_3) > \frac{2}{64}$.
Многочлен $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + с$ имеет три различных действительных корня, а многочлен $P(Q(x))$, где $Q(x) = x^2 + x + 2001$, действительных корней не имеет. Докажите, что $P(2001) > \frac {1}{64}$.
Решение:
По условию $P(x) = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$, следовательно, $P(Q(x)) = (Q(x) - x_1)(Q(x) - x_2)(Q(x) - x_3)$, где $Q(x) - x_i \neq 0, i = 1, 2, 3$, т.е. $D_i = 1 - 4(2001 - x_i) < 0$. Перемножив полученные неравенства $2001 - x_i > \frac{1}{4}$ получаем $P(2001) = (2001 - x_1)(2001 - x_2)(2001 - x_3) > \frac{2}{64}$.
