Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1954
2019-01-22 
Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке $N$. Касательная к внутренней окружности, проведенная в точке $K$, пересекает внешнюю окружность в точках $A$ и $B$. Пусть $M$ - середина дуги $AB$, не содержащей точку $N$. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника $BMK$, не зависит от выбора точки $K$ на внутренней окружности.
Решение:
Обозначим внешнюю окружность через $\Omega$, внутреннюю - $\omega$, описанную окружность треугольника $BKM$ - $\omega_1$, их радиусы - $R, r$ и $r_1$ соответственно. Пусть отрезок $BN$ пересекает $\omega$ в точке $P$ (см. рис.). Рассмотрим гомотетию $H$ с центром в точке $N$, переводящую внутреннюю окружность во внешнюю. Тогда $H(P) = В, H(AB) = l$, где $l$ - касательная к $\Omega$, параллельная $AB$, т. е. проходящая через точку $M$. Следовательно, $H(K) = M$, т. е. точки $N, K, M$ лежат на одной прямой. Тогда, по теореме синусов, $\frac{BK}{BN} = \frac{2r_1 \sin \alpha}{2 R \sin \alpha} = \frac{r_1}{R}$, где $\alpha = \angle BMN$. Кроме того, $\frac{NP}{BN} = \frac{r}{R}$. Далее, $BK^2 = BP \cdot BN$ поэтому $\left (\frac{r_1}{R} \right )^2 = \left (\frac{BK}{BN} \right )^2 = \frac{BP}{BN} = 1 - \frac{NP}{BN} = 1 - \frac{r}{R}$. Отсюда следует, что отношение $\frac{r_1}{R}$ постоянно.
Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке $N$. Касательная к внутренней окружности, проведенная в точке $K$, пересекает внешнюю окружность в точках $A$ и $B$. Пусть $M$ - середина дуги $AB$, не содержащей точку $N$. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника $BMK$, не зависит от выбора точки $K$ на внутренней окружности.
Решение:
Обозначим внешнюю окружность через $\Omega$, внутреннюю - $\omega$, описанную окружность треугольника $BKM$ - $\omega_1$, их радиусы - $R, r$ и $r_1$ соответственно. Пусть отрезок $BN$ пересекает $\omega$ в точке $P$ (см. рис.). Рассмотрим гомотетию $H$ с центром в точке $N$, переводящую внутреннюю окружность во внешнюю. Тогда $H(P) = В, H(AB) = l$, где $l$ - касательная к $\Omega$, параллельная $AB$, т. е. проходящая через точку $M$. Следовательно, $H(K) = M$, т. е. точки $N, K, M$ лежат на одной прямой. Тогда, по теореме синусов, $\frac{BK}{BN} = \frac{2r_1 \sin \alpha}{2 R \sin \alpha} = \frac{r_1}{R}$, где $\alpha = \angle BMN$. Кроме того, $\frac{NP}{BN} = \frac{r}{R}$. Далее, $BK^2 = BP \cdot BN$ поэтому $\left (\frac{r_1}{R} \right )^2 = \left (\frac{BK}{BN} \right )^2 = \frac{BP}{BN} = 1 - \frac{NP}{BN} = 1 - \frac{r}{R}$. Отсюда следует, что отношение $\frac{r_1}{R}$ постоянно.
