Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1952
2019-01-22 
Найдите все нечетные натуральные $n (n > 1)$ такие, что для любых взаимно простых делителей $а$ и $b$ числа $n$ число $а + b - 1$ также является делителем $n$.
Решение:
Предположим, что $n$ не является степенью простого числа. Пусть $p$ - наименьший простой делитель числа $n$. Представим $n$ в виде $p^m \cdot k$, где $p$ не делится на $k$. По условию число $l = p + k - 1$ является делителем $n$. Покажем, что $l$ взаимно просто с $к$. Предположим противное. Если $НОД (1,k) > 1,$ то $НОД (p - 1, k) =\:НОД (1 - k, k) =\:НОД (1, k) > 1$. Таким образом, число $k$ имеет какой-то делитель $d, 2 \leq d \leq p - 1$. Противоречие с выбором числа $p$. Следовательно, $p + k - 1 = p^{ \alpha}$. Ясно, что $\alpha \geq 2$, ибо $k > 1$. Таким образом, числа $p^2$ и $k$ - взаимно простые делители числа $n$, т. е. $p^2 + к - 1$ - делитель числа $n$. При этом $p^2 + k - 1$ взаимно просто с $k$, поскольку в противном случае $к$ имеет общий делитель с $p^2 - 1 = 2(р - 1) \cdot \frac{p+1}{2}$, что снова противоречит выбору числа $р$. Следовательно, $p^2 + k - 1 = p^{ \beta}$, где $\beta \geq 3$. Но тогда $p^{ \beta} = p^2 + k - 1 = p^2 + (p + k - 1) - p = р(р + p^{ \alpha - 1} - 1)$, что не делится на $p^2$. Противоречие, следовательно, $k = 1$. Нетрудно убедиться, что полученные числа удовлетворяют условию.
Ответ. $n = p^m,$ где $p$ - простое число, $m \in \mathbb{N}$.
Найдите все нечетные натуральные $n (n > 1)$ такие, что для любых взаимно простых делителей $а$ и $b$ числа $n$ число $а + b - 1$ также является делителем $n$.
Решение:
Предположим, что $n$ не является степенью простого числа. Пусть $p$ - наименьший простой делитель числа $n$. Представим $n$ в виде $p^m \cdot k$, где $p$ не делится на $k$. По условию число $l = p + k - 1$ является делителем $n$. Покажем, что $l$ взаимно просто с $к$. Предположим противное. Если $НОД (1,k) > 1,$ то $НОД (p - 1, k) =\:НОД (1 - k, k) =\:НОД (1, k) > 1$. Таким образом, число $k$ имеет какой-то делитель $d, 2 \leq d \leq p - 1$. Противоречие с выбором числа $p$. Следовательно, $p + k - 1 = p^{ \alpha}$. Ясно, что $\alpha \geq 2$, ибо $k > 1$. Таким образом, числа $p^2$ и $k$ - взаимно простые делители числа $n$, т. е. $p^2 + к - 1$ - делитель числа $n$. При этом $p^2 + k - 1$ взаимно просто с $k$, поскольку в противном случае $к$ имеет общий делитель с $p^2 - 1 = 2(р - 1) \cdot \frac{p+1}{2}$, что снова противоречит выбору числа $р$. Следовательно, $p^2 + k - 1 = p^{ \beta}$, где $\beta \geq 3$. Но тогда $p^{ \beta} = p^2 + k - 1 = p^2 + (p + k - 1) - p = р(р + p^{ \alpha - 1} - 1)$, что не делится на $p^2$. Противоречие, следовательно, $k = 1$. Нетрудно убедиться, что полученные числа удовлетворяют условию.
Ответ. $n = p^m,$ где $p$ - простое число, $m \in \mathbb{N}$.
