Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1951
2019-01-22 
На большей стороне $AC$ треугольника $ABC$ взята точка $N$ так, что серединные перпендикуляры к отрезкам $AN$ и $NC$ пересекают стороны $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Докажите, что центр $O$ описанной около треугольника $ABC$ окружности лежит на окружности, описанной около треугольника $KBM$.
Решение:
Пусть $P$ и $Q$ - середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно, $P_1, K_1, Q_1, M_1$ - проекции точек $P, K, Q, M$ на сторону $AC$ (см. рис.). Тогда $P_1Q_1 = \frac{1}{2} АС$ и, по условию, $k_1M_1 = \frac{1}{2} АС$, поэтому $P_1Q_1 = K_1M_1$, следовательно, если точка $K$ ближе к вершине $B$, чем точка $P$, то точка $Q$ ближе к $B$, чем точка $M$. Из условия следует, что $OP \perp AB, OQ \perp BC \Rightarrow \angle POQ = \pi - \angle B$. Поэтому утверждение задачи равносильно равенству $\angle KOM = \angle POQ$, т. е., с учетом установленного расположения точек, подобию прямоугольных треугольников $OPK$ и $OQM$.
Пусть $\angle BAC = \alpha, \angle BCA = \gamma$. Тогда $PK = P_1K_1 : \cos \alpha, QM = Q_1M_1 : \cos \gamma$. Но $P_1Q_1 = K_1M_1 \Rightarrow P_1K_1 = Q_1M_1 \Rightarrow PK : QM = cos \gamma : cos \alpha$.
С другой стороны, $\angle AOB = 2\gamma \Rightarrow \angle BOP = \angle \Rightarrow OP = R \cos \gamma$, где $R$ - радиус описанной окружности. Аналогично $OQ = R \cos \alpha \Rightarrow OP : OQ = \cos \gamma : \cos \alpha = PK : QM$ и, значит, $\triangle OPK \sim \triangle OQM$.
На большей стороне $AC$ треугольника $ABC$ взята точка $N$ так, что серединные перпендикуляры к отрезкам $AN$ и $NC$ пересекают стороны $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Докажите, что центр $O$ описанной около треугольника $ABC$ окружности лежит на окружности, описанной около треугольника $KBM$.
Решение:
Пусть $P$ и $Q$ - середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно, $P_1, K_1, Q_1, M_1$ - проекции точек $P, K, Q, M$ на сторону $AC$ (см. рис.). Тогда $P_1Q_1 = \frac{1}{2} АС$ и, по условию, $k_1M_1 = \frac{1}{2} АС$, поэтому $P_1Q_1 = K_1M_1$, следовательно, если точка $K$ ближе к вершине $B$, чем точка $P$, то точка $Q$ ближе к $B$, чем точка $M$. Из условия следует, что $OP \perp AB, OQ \perp BC \Rightarrow \angle POQ = \pi - \angle B$. Поэтому утверждение задачи равносильно равенству $\angle KOM = \angle POQ$, т. е., с учетом установленного расположения точек, подобию прямоугольных треугольников $OPK$ и $OQM$.
Пусть $\angle BAC = \alpha, \angle BCA = \gamma$. Тогда $PK = P_1K_1 : \cos \alpha, QM = Q_1M_1 : \cos \gamma$. Но $P_1Q_1 = K_1M_1 \Rightarrow P_1K_1 = Q_1M_1 \Rightarrow PK : QM = cos \gamma : cos \alpha$.
С другой стороны, $\angle AOB = 2\gamma \Rightarrow \angle BOP = \angle \Rightarrow OP = R \cos \gamma$, где $R$ - радиус описанной окружности. Аналогично $OQ = R \cos \alpha \Rightarrow OP : OQ = \cos \gamma : \cos \alpha = PK : QM$ и, значит, $\triangle OPK \sim \triangle OQM$.
