Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1950
2019-01-22 
В компании из $2n +1$ человек для любых $n$ человек найдется от личный от них человек, знакомый с каждым из них. Докажите, что в этой компании есть человек, знающий всех.
Решение:
Докажем, что в этой компании есть $n + 1$ попарно знакомый человек. Очевидно, что есть двое знакомых, и если есть $k$ попарно знакомых (где $k \leq n$), то по условию найдется отличный от них человек, знакомый со всеми этими $к$ людьми. Отсюда следует, что найдутся $n + 1$ попарно знакомых человек $A_1, \cdots, A_{n+1}$.
Рассмотрим остальных $n$ человек. По условию, существует отличный от них человек $A_i$, знающий их всех. Но тогда $A_i$ знаком со всеми.
В компании из $2n +1$ человек для любых $n$ человек найдется от личный от них человек, знакомый с каждым из них. Докажите, что в этой компании есть человек, знающий всех.
Решение:
Докажем, что в этой компании есть $n + 1$ попарно знакомый человек. Очевидно, что есть двое знакомых, и если есть $k$ попарно знакомых (где $k \leq n$), то по условию найдется отличный от них человек, знакомый со всеми этими $к$ людьми. Отсюда следует, что найдутся $n + 1$ попарно знакомых человек $A_1, \cdots, A_{n+1}$.
Рассмотрим остальных $n$ человек. По условию, существует отличный от них человек $A_i$, знающий их всех. Но тогда $A_i$ знаком со всеми.
