ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Биссектрисы внутреннего и внешнего углов С треугольника ABC пересекают прямую АВ в точках L и М соответственно. Доказать, что если CL = CM, то
$AC^{2} + BC^{2} = 4R^{2}$,
где $R$ - радиус описанной окружности.


Решение:



Пусть точки A, L, В, М расположены на прямой АВ в указанном порядке (рис.; случай их расположения в порядке M, A, L, В рассматривается аналогично), тогда
$\angle LCM = \frac{1}{2} \cdot 180^{\circ} = 90^{\circ}$ и $\angle CLM = 45^{\circ}$
(ибо CL=CM). Поэтому
$2 \angle BAC + \angle BCA = 2 (\angle LAC + \angle LCA) = 2 \angle CLM = 90^{\circ}$
и
$\angle BAC + \angle BCA = 180^{\circ} - \angle ABC$,
откуда
$\angle BAC = \angle ABC - 90^{\circ}$
Поскольку угол AВС тупой, то диаметр AD описанной около треугольника AВС окружности лежит вне этого треугольника, а значит,
$\angle DAC = (180^{\circ} - \angle ADC) - \angle ACD = \angle ABC – 90^{\circ} = \angle BAC $
(ибо $\angle ABC $ и $\angle ADC$ - противоположные углы вписанного четырехугольника ABCD). Поэтому DC = BC и
$4R^{2} = AD^{2} = AC^{2} + CD^{2} = AC^{2} + BC^{2}$,
что и требовалось доказать.