ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-01-22   
Внутри параллелограмма $ABCD$ с тупым углом $A$ выбрана точка $K$ таким образом, что середина отрезка $AD$ равноудалена от точек $K$ и $C$, а середина отрезка $CD$ равноудалена отточек $K$ и $A$. Точка $N$ - середина отрезка $BK$. Докажите, что углы $NAK$ и $NCK$ равны.


Решение:



Пусть $M$ - середина стороны $CD$, а $L$ - середина стороны $AD$. Достроим параллелограмм $ABCD$ до треугольника $BA_1C_1$ так, чтобы отрезок $AC$ был средней линией треугольника $BA_1C_1$ (см. ). Для этого через точку $D$ проведем прямую, параллельную $AC$ и обозначим через $A_1$ и $C_1$ точки пересечения этой прямой с продолжениями сторон $BC$ и $BA$ соответственно. Тогда четырехугольники $ACA_1D$ и $CAC_1D$ будут параллелограммами. Точки $A, M$ и $A_1$ будут лежать на одной прямой, ибо в параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения на равные части. Следовательно, в треугольнике $AKA_1$ угол $K$ - прямой, поскольку точка $M$ равноудалена от точек $A, A_1$ и $K$. Аналогично устанавливаем, что $\angle CKC_1 = 90^{\circ}$. Таким образом,

$\angle CKA_1 = 90^{\circ} - \angle A_1KC_1 = \angle C_1KA$.

Отрезки $CN$ и $KA_1$ параллельны, ибо $CN$ - средняя линия в треугольнике $KBA_1$. Аналогично параллельны отрезки $AN$ и $KC_1$. Следовательно,

$\angle NCK = \angle CKA_1 = \angle C_1KA = \angle NAK$.