Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1946
2019-01-22 
Два многочлена $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ и $Q(x) = x^2 + px + + q$ принимают отрицательные значения на некотором интервале $I$ длины более 2, а вне $I$ - неотрицательны. Докажите, что найдется такая точка $x_0$, что $P(x_0) < Q(x_0)$.
Решение:
Из условия следует, что $Q(x) = (x - x_1)(x - x_2),$ где $x_2 - x_1 > 2$ и $P(x) = (x - x_1)(x - x_2)(x_2 + A_x + B)$, так как $P(x_1) = Q(x_1) = 0, P(x_2) = Q(x_2) = 0$. Предположим, что $P(x) - Q(x) \geq 0$, т. е. $(x - x_1)(x - x_2)(x_2 + Ax + B - 1) \geq 0$ при всех $x$. Это выполняется только в том случае, когда $x_2 + Ax + (B - 1) = (x - x_1)(x - x_2)$, так как в точках $x = x_1$ и $x = x_2$ не будет происходить перемена знака многочлена $P(x) - Q(x)$ только при четной кратности корней $x = x_1$ и $x = x_2$. Значит, $A = -(x_1 + x_2), B - 1 = x_1x_2$. Поэтому дискриминант трехчлена $x_2 + Ax + B$ есть $D = (x_1 + x_2)^2 - 4(x_1x_2 + 1) = (x_1 - x_2)^2 - 4 > 0$. Но тогда $P(x) = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)$ (корни $x_3$ и $x_4$ несовпадают с $x_1$ и $x_2$, так как $x_3$ и $x_4$ - корни трехчлена $x_2 + Ax + B,$ а $x_1$ и $x_2$ - нет; кроме того, $x_3 = x_4$, так как $D = 0$). Таким образом, $P(x)$ не может иметь в качестве промежутка отрицательных значений ровно интервал $I = (x_1; x_2)$. Противоречие. Значит, неравенство $P(x) - Q(x) \geq 0$ при некоторых $x$ нарушается.
Два многочлена $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ и $Q(x) = x^2 + px + + q$ принимают отрицательные значения на некотором интервале $I$ длины более 2, а вне $I$ - неотрицательны. Докажите, что найдется такая точка $x_0$, что $P(x_0) < Q(x_0)$.
Решение:
Из условия следует, что $Q(x) = (x - x_1)(x - x_2),$ где $x_2 - x_1 > 2$ и $P(x) = (x - x_1)(x - x_2)(x_2 + A_x + B)$, так как $P(x_1) = Q(x_1) = 0, P(x_2) = Q(x_2) = 0$. Предположим, что $P(x) - Q(x) \geq 0$, т. е. $(x - x_1)(x - x_2)(x_2 + Ax + B - 1) \geq 0$ при всех $x$. Это выполняется только в том случае, когда $x_2 + Ax + (B - 1) = (x - x_1)(x - x_2)$, так как в точках $x = x_1$ и $x = x_2$ не будет происходить перемена знака многочлена $P(x) - Q(x)$ только при четной кратности корней $x = x_1$ и $x = x_2$. Значит, $A = -(x_1 + x_2), B - 1 = x_1x_2$. Поэтому дискриминант трехчлена $x_2 + Ax + B$ есть $D = (x_1 + x_2)^2 - 4(x_1x_2 + 1) = (x_1 - x_2)^2 - 4 > 0$. Но тогда $P(x) = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)$ (корни $x_3$ и $x_4$ несовпадают с $x_1$ и $x_2$, так как $x_3$ и $x_4$ - корни трехчлена $x_2 + Ax + B,$ а $x_1$ и $x_2$ - нет; кроме того, $x_3 = x_4$, так как $D = 0$). Таким образом, $P(x)$ не может иметь в качестве промежутка отрицательных значений ровно интервал $I = (x_1; x_2)$. Противоречие. Значит, неравенство $P(x) - Q(x) \geq 0$ при некоторых $x$ нарушается.
