Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1945
2019-01-22 
Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечетного числа, во вторую - числа, для которых ближайшими являются квадраты четных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?
Решение:
Разобьем числа от $n^2$ до $(n + 1)^2 - 1$ на две группы $A_n = {n^2, n^2 + 1, \cdots, n^2 + n}$ и $B_n = {n^2 + n + 1, n^2 + n + 2, \cdots, n^2 + 2n}$. Для чисел группы $A_n$ ближайшим квадратом является $n^2$, для $B_n$ ближайшим является $(n +1)^2$ - квадрат другой четности. Суммы чисел в группах $A_n$ и $B_n$ обозначим $S(A_n)$ и $S(B_n)$ соответственно. Но из равенства $S(B_n) - S(A_n) = ((n^2 + n + 1) - (n^2 + 1)) + ((n^2 + n + 2) - (n^2 + 2)) +\cdots + ((n^2 + 2n) - (n^2 + n)) - n^2 = n \cdot n - n^2 = 0$ следует, что суммы чисел в группах $A_n$ и $B_n$ равны. Осталось заметить, что все множество чисел от 1 до 999999 разбивается на непересекающиеся пары $A_1$ и $B_1, A_2$ и $B_2, \cdots, A_{999}$ и $B_{999}$.
Ответ. Эти суммы одинаковы.
Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечетного числа, во вторую - числа, для которых ближайшими являются квадраты четных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?
Решение:
Разобьем числа от $n^2$ до $(n + 1)^2 - 1$ на две группы $A_n = {n^2, n^2 + 1, \cdots, n^2 + n}$ и $B_n = {n^2 + n + 1, n^2 + n + 2, \cdots, n^2 + 2n}$. Для чисел группы $A_n$ ближайшим квадратом является $n^2$, для $B_n$ ближайшим является $(n +1)^2$ - квадрат другой четности. Суммы чисел в группах $A_n$ и $B_n$ обозначим $S(A_n)$ и $S(B_n)$ соответственно. Но из равенства $S(B_n) - S(A_n) = ((n^2 + n + 1) - (n^2 + 1)) + ((n^2 + n + 2) - (n^2 + 2)) +\cdots + ((n^2 + 2n) - (n^2 + n)) - n^2 = n \cdot n - n^2 = 0$ следует, что суммы чисел в группах $A_n$ и $B_n$ равны. Осталось заметить, что все множество чисел от 1 до 999999 разбивается на непересекающиеся пары $A_1$ и $B_1, A_2$ и $B_2, \cdots, A_{999}$ и $B_{999}$.
Ответ. Эти суммы одинаковы.
