Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1943
2019-01-22 
Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности $w$. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Окружность $w_1$ касается стороны $BC$ в точке $K$ и продолжений сторон $AB$ и $CD$, окружность $w_2$ касается стороны $AD$ в точке $L$ и продолжений сторон $AB$ и $CD$. Известно, что точки $O, K, L$ лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон $BC, AD$ и центр окружности $w$ лежат на одной прямой.
Решение:
Пусть для определенности $O$ лежит на продолжении отрезка $AB$ за точку $B$ (см. рис.). Обозначим $P, Q$ точки пересечения $KL$ с окружностью $w, M, N$ - точки касания сторон $BC$ и $AD$ с $w$. Проведем касательные $l_1, l_2$ к $w$ в точках $P, Q$. Обозначим через $\alpha$ угол между касательной $l_1$ (или $l_2$) и хордой $PQ$.
При гомотетии с центром $O$, переводящей окружность $w_1$ в $w$, касательная $BC$ в точке $K$ перейдет в $l_{2}$; при гомотетии, переводящей окружность $w_2$ в $w$, прямая $AD$ перейдет в $l_1$. Отсюда $BC \parallel l_2, AD \parallel l_1$ и, следовательно, $\angle LKC = \angle KLD = \alpha. \angle BMN = \angle ANM$ как углы между касательной и хордой. Отсюда получаем, что четырехугольник $KLNM$ - равнобокая трапеция и $\angle NMC = \angle MND = \alpha$. Итак, хорды $PQ$ и $MN$ окружности $w$ параллельны и стягивают равные дуги величиной $2 \alpha$. Отсюда следует, что средняя линия нашей трапеции проходит через центр $w$. Но середина $KM$ совпадает с серединой $BC$ (точки касания стороны треугольника со вписанной и вневписанной окружностью, как известно, симметричны относительно середины стороны), и также середина $LN$ совпадает с серединой $AD$.
Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности $w$. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Окружность $w_1$ касается стороны $BC$ в точке $K$ и продолжений сторон $AB$ и $CD$, окружность $w_2$ касается стороны $AD$ в точке $L$ и продолжений сторон $AB$ и $CD$. Известно, что точки $O, K, L$ лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон $BC, AD$ и центр окружности $w$ лежат на одной прямой.
Решение:
Пусть для определенности $O$ лежит на продолжении отрезка $AB$ за точку $B$ (см. рис.). Обозначим $P, Q$ точки пересечения $KL$ с окружностью $w, M, N$ - точки касания сторон $BC$ и $AD$ с $w$. Проведем касательные $l_1, l_2$ к $w$ в точках $P, Q$. Обозначим через $\alpha$ угол между касательной $l_1$ (или $l_2$) и хордой $PQ$.
При гомотетии с центром $O$, переводящей окружность $w_1$ в $w$, касательная $BC$ в точке $K$ перейдет в $l_{2}$; при гомотетии, переводящей окружность $w_2$ в $w$, прямая $AD$ перейдет в $l_1$. Отсюда $BC \parallel l_2, AD \parallel l_1$ и, следовательно, $\angle LKC = \angle KLD = \alpha. \angle BMN = \angle ANM$ как углы между касательной и хордой. Отсюда получаем, что четырехугольник $KLNM$ - равнобокая трапеция и $\angle NMC = \angle MND = \alpha$. Итак, хорды $PQ$ и $MN$ окружности $w$ параллельны и стягивают равные дуги величиной $2 \alpha$. Отсюда следует, что средняя линия нашей трапеции проходит через центр $w$. Но середина $KM$ совпадает с серединой $BC$ (точки касания стороны треугольника со вписанной и вневписанной окружностью, как известно, симметричны относительно середины стороны), и также середина $LN$ совпадает с серединой $AD$.
