Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1941
2019-01-22 
Докажите неравенство $ \sin^n 2x + {( \sin^n x - \cos^n x)}^2 \leq 1$.
Решение:
Доказываемое неравенство можно переписать в виде
$\sin^{2n} x +(2^n - 2) \sin^n x \cos^n x + \cos^{2n} x \leq 1$.
Возведем тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ в степень $n$, получим
$1 = \sin^{2n} x + \cos^{2n} x + n(\sin^2 x \cos^{2n-2} x + \cos^2 x \sin^{2n-2} x) + C_n^2(\sin^4 x \cos^{2n-4} x + \cos^4 x \sin^{2n-4} x) + \cdots \geq \sin^{2n} x + \cos^{2n} x + (2^n - 2) \sin^n x \cos^n x$,
поскольку каждая скобка не меньше чем $2 \sin^n x \cos^n x$, а сумма коэффициентов равна $\frac{2^n - 2}{2}$.
Докажите неравенство $ \sin^n 2x + {( \sin^n x - \cos^n x)}^2 \leq 1$.
Решение:
Доказываемое неравенство можно переписать в виде
$\sin^{2n} x +(2^n - 2) \sin^n x \cos^n x + \cos^{2n} x \leq 1$.
Возведем тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ в степень $n$, получим
$1 = \sin^{2n} x + \cos^{2n} x + n(\sin^2 x \cos^{2n-2} x + \cos^2 x \sin^{2n-2} x) + C_n^2(\sin^4 x \cos^{2n-4} x + \cos^4 x \sin^{2n-4} x) + \cdots \geq \sin^{2n} x + \cos^{2n} x + (2^n - 2) \sin^n x \cos^n x$,
поскольку каждая скобка не меньше чем $2 \sin^n x \cos^n x$, а сумма коэффициентов равна $\frac{2^n - 2}{2}$.
