Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 194
2014-06-07 
Через $B_{ij}( i, j \in \{1; 2; 3\})$ обозначена точка, симметричная вершине $A_{i}$ данного неравнобедренного треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$ относительно его биссектрисы, проходящей через вершину $A_{j}$. Доказать, что прямые $B_{12}B_{21}, B_{13}B_{31}$ и $B_{23}B_{32}$ параллельны.
Решение:
Пусть $A_{1}C_{1}$ - биссектриса треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$ (рис.). Так как образ отрезка $A_{2}A_{3}$ при преобразовании симметрии относительно прямой $A_{1}C_{1}$ есть отрезок $B_{21}B_{31}$, то прямые $A_{2}A_{3}$ и $B_{21}B_{31}$ пересекаются в точке $C_{1}$. По свойству биссектрисы имеем
$\frac{A_{1}A_{2}}{A_{1}A_{3}} = \frac{C_{1}A_{2}}{C_{1}A_{3}}$,
откуда получаем
$ \frac{B_{12}C_{1}}{B_{13}C_{1}} = \frac{B_{12}A_{2} - C_{1}A_{2}}{ B_{13}A_{3} - C_{1}A_{3}} = \frac{A_{1}A_{2} – C_{1}A_{2}}{A_{1}A_{3} – C_{1}A_{3}} = \frac{A_{1}A_{2}}{A_{1}A_{3}}$,
поскольку $B_{12}A_{2} = A_{1}A_{2}, B_{13}A_{3}=A_{1}A_{3}$. Аналогично устанавливается равенство
$\frac{B_{21}C_{1}}{B_{31}C_{1}} = \frac{A_{1}A_{2}}{A_{1}A_{3}}$.
Таким образом, треугольники $B_{12}C_{1}B_{21}$ и $ B_{13}C_{1}B_{31}$ гомотетичны, откуда $B_{12}B_{21} \parallel B_{13}B_{31} $. Аналогично доказывается, что $B_{23}B_{32} \parallel B_{13}B_{31} $.
Замечание. Можно доказать, что прямые $ B_{12}B_{21}, B_{13}B_{31}, B_{23}B_{32}$ перпендикулярны прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$.
Через $B_{ij}( i, j \in \{1; 2; 3\})$ обозначена точка, симметричная вершине $A_{i}$ данного неравнобедренного треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$ относительно его биссектрисы, проходящей через вершину $A_{j}$. Доказать, что прямые $B_{12}B_{21}, B_{13}B_{31}$ и $B_{23}B_{32}$ параллельны.
Решение:
Пусть $A_{1}C_{1}$ - биссектриса треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$ (рис.). Так как образ отрезка $A_{2}A_{3}$ при преобразовании симметрии относительно прямой $A_{1}C_{1}$ есть отрезок $B_{21}B_{31}$, то прямые $A_{2}A_{3}$ и $B_{21}B_{31}$ пересекаются в точке $C_{1}$. По свойству биссектрисы имеем
$\frac{A_{1}A_{2}}{A_{1}A_{3}} = \frac{C_{1}A_{2}}{C_{1}A_{3}}$,
откуда получаем
$ \frac{B_{12}C_{1}}{B_{13}C_{1}} = \frac{B_{12}A_{2} - C_{1}A_{2}}{ B_{13}A_{3} - C_{1}A_{3}} = \frac{A_{1}A_{2} – C_{1}A_{2}}{A_{1}A_{3} – C_{1}A_{3}} = \frac{A_{1}A_{2}}{A_{1}A_{3}}$,
поскольку $B_{12}A_{2} = A_{1}A_{2}, B_{13}A_{3}=A_{1}A_{3}$. Аналогично устанавливается равенство
$\frac{B_{21}C_{1}}{B_{31}C_{1}} = \frac{A_{1}A_{2}}{A_{1}A_{3}}$.
Таким образом, треугольники $B_{12}C_{1}B_{21}$ и $ B_{13}C_{1}B_{31}$ гомотетичны, откуда $B_{12}B_{21} \parallel B_{13}B_{31} $. Аналогично доказывается, что $B_{23}B_{32} \parallel B_{13}B_{31} $.
Замечание. Можно доказать, что прямые $ B_{12}B_{21}, B_{13}B_{31}, B_{23}B_{32}$ перпендикулярны прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$.
