Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1939
2019-01-22 
На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$ с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе пятиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1$ (рис.) есть хотя бы одна целая точка.
Решение:
Будем говорить «в» вместо «внутри или на границе». Предположим противное. Рассмотрим пятиугольник минимальной площади $S$, для которого не выполняется утверждение задачи (так как площадь любого пятиугольника с вершинами в целых точках - число полуцелое, то такой найдется). Покажем, что все целые точки в треугольнике $AC_1D_1$, кроме $А$, лежат на $C_1D_1$. В самом деле, если в нем есть другая целая точка $K$, то площадь выпуклого пятиугольника $KBCDE$ меньше $S$, а «внутренний» пятиугольник в $KBCDE$ лежит в пятиугольнике $A_1B_1C_1D_1E_1$, что, очевидно, невозможно.
Через $\rho (M, PQ)$ будем обозначать расстояние от точки $M$ до прямой $PQ$. Выберем из треугольников $ABC, BCD, CDE, DEA$ и $EAB$ треугольник наименьшей площади. Пусть это $AABC$. Тогда $\rho(A,BC) \leq \rho(D,BC)$ и $\rho(C,AB) \leq \rho(E,AB)$. Рассмотрим точку $O$ такую, что $ABCO$ - параллелограмм (очевидно, эта точка целая). Тогда $\rho (O, BC) = \rho (A, BC)$ и $\rho (O, AB) = \rho (C, AB) \leq \rho (B_1,AB)$, поэтому точка $O$ лежит в треугольнике $AB_1C$. Тогда из доказанного в предыдущем абзаце следует, что она лежит в пятиугольнике $A_1B_1C_1D_1E_1$, чего не может быть. Противоречие.
На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$ с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе пятиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1$ (рис.) есть хотя бы одна целая точка.
Решение:
Будем говорить «в» вместо «внутри или на границе». Предположим противное. Рассмотрим пятиугольник минимальной площади $S$, для которого не выполняется утверждение задачи (так как площадь любого пятиугольника с вершинами в целых точках - число полуцелое, то такой найдется). Покажем, что все целые точки в треугольнике $AC_1D_1$, кроме $А$, лежат на $C_1D_1$. В самом деле, если в нем есть другая целая точка $K$, то площадь выпуклого пятиугольника $KBCDE$ меньше $S$, а «внутренний» пятиугольник в $KBCDE$ лежит в пятиугольнике $A_1B_1C_1D_1E_1$, что, очевидно, невозможно.
Через $\rho (M, PQ)$ будем обозначать расстояние от точки $M$ до прямой $PQ$. Выберем из треугольников $ABC, BCD, CDE, DEA$ и $EAB$ треугольник наименьшей площади. Пусть это $AABC$. Тогда $\rho(A,BC) \leq \rho(D,BC)$ и $\rho(C,AB) \leq \rho(E,AB)$. Рассмотрим точку $O$ такую, что $ABCO$ - параллелограмм (очевидно, эта точка целая). Тогда $\rho (O, BC) = \rho (A, BC)$ и $\rho (O, AB) = \rho (C, AB) \leq \rho (B_1,AB)$, поэтому точка $O$ лежит в треугольнике $AB_1C$. Тогда из доказанного в предыдущем абзаце следует, что она лежит в пятиугольнике $A_1B_1C_1D_1E_1$, чего не может быть. Противоречие.
