Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1934
2019-01-22 
Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9. (Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, отличных от самого числа, например $6 = 1 + 2 + 3$).
Решение:
Предположим, что совершенное число равно $3n$, где $n$ не кратно 3. Тогда все натуральные делители числа $3n$ (включая его самого) можно разбить на пары $d$ и $3d$, где $d$ не делится на 3. Следовательно, сумма всех делителей числа $3n$ (она равна $6n$) делится на 4. Отсюда $n$ кратно 2. Далее заметим, что числа $\frac{3n}{2}, n, \frac{n}{2}$ и $1$ будут различными делителями числа $3n$, их сумма равна $3n +1 > 3n$, откуда следует, что число $3n$ не может быть совершенным. Противоречие.
Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9. (Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, отличных от самого числа, например $6 = 1 + 2 + 3$).
Решение:
Предположим, что совершенное число равно $3n$, где $n$ не кратно 3. Тогда все натуральные делители числа $3n$ (включая его самого) можно разбить на пары $d$ и $3d$, где $d$ не делится на 3. Следовательно, сумма всех делителей числа $3n$ (она равна $6n$) делится на 4. Отсюда $n$ кратно 2. Далее заметим, что числа $\frac{3n}{2}, n, \frac{n}{2}$ и $1$ будут различными делителями числа $3n$, их сумма равна $3n +1 > 3n$, откуда следует, что число $3n$ не может быть совершенным. Противоречие.
