Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1931
2019-01-22 
В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса острого угла между высотами $AA_1$ и $CC_1$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Биссектриса угла $B$ пересекает отрезок, соединяющий ортоцентр треугольника $ABC$ с серединой стороны $AC$, в точке $R$. Докажите, что точки $P, B, Q$ и $R$ лежат на одной окружности.
Решение:
Пусть $H$ - ортоцентр $\triangle ABC$, а $M$ - середина стороны $AC$. Выберем на отрезках $AH$ и $CH$ точки $S$ и $T$ такие, что $PS \perp AB$ и $TQ \perp BC$ (см. рис.). Обозначим через $K$ точку пересечения перпендикуляров $PS$ и $QT$. Поскольку $\angle BPK = \angle BQK = 90^{\circ}$, то четырехугольник $BPKQ$ вписанный. Покажем, что точки $K$ и $R$ совпадают.
Треугольник $PBQ$ равнобедренный ($BP = BQ$), ибо $\angle HPB = \angle HQB$. Поэтому точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$. Докажем, что она также лежит и на прямой $HM$. Действительно, пары $(P,Q)$ и $(S,T)$ - пары соответственных точек в подобных треугольниках $AC_1H$ и $CA_1H$, поэтому
$\frac{HS}{HT} = \frac{HA}{HC}$,
откуда $ST \parallel AC$. Поэтому середина отрезка $ST$ лежит на прямой $HM$. Поскольку $HSKT$ - параллелограмм, то точка $K$ лежит на прямой $HM$. Отсюда точка $K$ является точкой пересечения прямой $HM$ с биссектрисой угла $B$. Таким образом точки $K$ и $R$ совпадают.
В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса острого угла между высотами $AA_1$ и $CC_1$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Биссектриса угла $B$ пересекает отрезок, соединяющий ортоцентр треугольника $ABC$ с серединой стороны $AC$, в точке $R$. Докажите, что точки $P, B, Q$ и $R$ лежат на одной окружности.
Решение:
Пусть $H$ - ортоцентр $\triangle ABC$, а $M$ - середина стороны $AC$. Выберем на отрезках $AH$ и $CH$ точки $S$ и $T$ такие, что $PS \perp AB$ и $TQ \perp BC$ (см. рис.). Обозначим через $K$ точку пересечения перпендикуляров $PS$ и $QT$. Поскольку $\angle BPK = \angle BQK = 90^{\circ}$, то четырехугольник $BPKQ$ вписанный. Покажем, что точки $K$ и $R$ совпадают.
Треугольник $PBQ$ равнобедренный ($BP = BQ$), ибо $\angle HPB = \angle HQB$. Поэтому точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$. Докажем, что она также лежит и на прямой $HM$. Действительно, пары $(P,Q)$ и $(S,T)$ - пары соответственных точек в подобных треугольниках $AC_1H$ и $CA_1H$, поэтому
$\frac{HS}{HT} = \frac{HA}{HC}$,
откуда $ST \parallel AC$. Поэтому середина отрезка $ST$ лежит на прямой $HM$. Поскольку $HSKT$ - параллелограмм, то точка $K$ лежит на прямой $HM$. Отсюда точка $K$ является точкой пересечения прямой $HM$ с биссектрисой угла $B$. Таким образом точки $K$ и $R$ совпадают.
